PDA

Просмотр полной версии : Математические и физические записки на манжетах


Страницы : [1] 2

СЛАУ
02.01.2010, 17:16
Итак, тема "Математические и физические записки на манжетах".
Полное описание темы, если бы позволяло число свободных знаков, было бы таким: "Ма-а-аленькие физ-мат мысли, для каждой из которых неразумно создание целой отдельной темы; в том числе тематический юмор".

Первая маленькая мысль. Начну с цитат:

Мусульманкам надо разрешить иметь четырех мужей

Источник: svpressa
Саудовская журналистка Надин аль-Будэйр опубликовала статью в египетской газете Al Masry al Youm. В статье женщина призывает закрепить в мусульманском законодательстве право женщин иметь одновременно четырех супругов.


Вот веселуха-то начнется! Если у каждого мужа по 4 жены, а у каждой жены по 4 мужа, сколько мужей и жен в семье?
Кто у нас в арифметике силен? :D

Я решила на всякий случай ответить на этот пост, вдруг кто-нибудь действительно не знает ответа на заданный вопрос про количество мужей и жён.

Понятно, что если у каждого мужа по 4 жены, а у каждой жены по 4 мужа, то мужей и жён в семье минимум 8. Для того, чтобы решить задачу про максимум, нужно построить граф. Суть в том, что мы предполагаем, что две женщины, имеющие общего мужа, не обязаны быть замужем только за одними и теми же мужчинами, а могут иметь, кроме общего, ещё и разных мужей. И наоборот: двое мужчин, имеющих общую жену, не обязаны иметь только общих жён, а могут иметь и разных жён. Тогда семья может иметь следующий состав. Начнём с какого-нибудь конкретного мужчины М11 (см. рис. 1), у него может быть 4 жены: Ж21, Ж22, Ж23, Ж24. У жены Ж21, кроме мужа М11, может быть ещё три мужа: М311, М312 и М313; у жены Ж22 тоже может быть ещё 3 мужа, причём не из списка уже названных мужчин; у жены Ж23 тоже может быть ещё 3 мужа, и тэ дэ.

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/467d1356396553-ris-1-dlya-musu-manskoj-sem-i.jpg?stc=1

Рисунок 1.

У каждого мужчины, в номере которого первая цифра 3, что означает "3-й уровень", тоже может быть ещё по три жены. Кстати, здесь в обозначении каждого мужа и каждой жены первая цифра означает номер уровня. Получаем дерево (граф такой), в котором число уровней может быть сколь угодно большим, а число вершин в первом уровне 1, во втором уровне 4, а в каждом уровне начиная с третьего в 3 раза больше, чем число вершин в предыдущем уровне. То есть семья по численности может состоять хоть из всех мусульман и мусульманок мира. Ур-р-ра! Мусульмане всех стран, объединяйтесь... в одну семью. Мои родители, кстати, временами заявляют, что я - мусульманка (либо обязана ею быть), так как я по крови татарка и всякое такое.

Вторая мысль, "прикольная", отражена в следующей картинке:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=497&stc=1&d=1357781978

:lol2:
_http://kotomatrix.ru/

ДОПОЛНЕНИЕ, написанное примерно 2 года спустя:
В этой теме рассматриваются разные вопросы и задачки. В частности:

1. В постах за 02.01.2010, 08.01.2010, 13.01.2010, 15.01.2010, 22.01.2010 и - с большим перерывом - 29.01.2012 рассматривается шутливая ситуация с "новой мусульманской семьёй".

2. В посте за 10.04.2010 я разбиралась с задачкой Сметанина об осмосе и вечном двигателе.

3. В постах за 12.05.2010, 13.05.2010, 14.05.2010 и 15.05.2010 обсуждается интересная поверхность. Я бы назвала эту поверхность Поверхностью-в-Бутылке, потому что её модель можно сделать (и я делала) при помощи ниток в бутылке из-под фанты. Я рассказала об этой поверхности, а Сметанин придумал красивые и забавные описания этой поверхности. Из-за его описаний эту поверхность можно ещё назвать Поверхностью Карусели или Поверхностью Штангиста.

4. В постах за 13.06.2010 и 15.06.2010 речь ещё об одной занятной поверхности в этом же роде.

5. В постах за 09.07.2012, 10.07.2012, 11.07.2012 рассматривается логическая игра "Духи и магии", в которую играют при помощи графов.

6. В постах за 17.08.2012, 18.08.2012, 19.08.2012, 20.08.2012 рассматривается "вывернутая наизнанку математика" - система счисления, в которой для определения, делится ли число на 2, 5, 10, смотрят на сумму цифр, а для определения, делится ли число на 3, 9, смотрят на последнюю цифру. О_о

7. В постах за 20.08.2012, 20.09.2012, 07.11.2012, 08.11.2012 речь о локсодромах.

8. ...

(Список будет пополняться).

СЛАУ
04.01.2010, 21:19
Недавний мой реальный разговор с мамой:

Я: Есть предположение, что трансцендентное число е является нормальным.
М а м а (опешив). Е - это ведь не число!
Я. А что?
М а м а. Буква!

))))) Вот хорошо это или плохо - когда у тебя с родственниками ничего общего? В основном плохо, мешает родству душ и поговорить не о чем. А с другой стороны, иногда даёт возможность посмеяться). Мне это напомнило кое-что из Задорнова. Пересказываю приблизительно по памяти:

На почте старика учат, как заполнять бланк: "Дедушка, "пять тысяч" надо прописью написать!" - "Это как?" - "Это буквами!" - "Да вы что, с ума сошли? Как же я это число буду буквами писать??!!")))

metelev_sv
04.01.2010, 21:59
Есть предположение, что трансцендентное число е является нормальным.

В смысле просто иррациональным? Расскажи пожалуйста, интересно :)

СЛАУ
05.01.2010, 09:32
В смысле просто иррациональным? Расскажи пожалуйста, интересно :)Нет, не просто иррациональным. Насколько мне известно, трансцендентность числа е доказана давно и бесповоротно:
В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов).
(Википедия).
А вот что говорит та же Вики про нормальные числа:
n-нормальными или нормальными по основанию n (где n - натуральное число, большее единицы) называются действительные числа, обладающие следующим свойством: в их записи в виде бесконечной дроби в системе счисления по основанию n каждый знак (более того, любая группа цифр фиксированного размера) встречается с одной и той же вероятностью. Числа, нормальные по любому основанию n, называются абсолютно нормальными.

Например, число 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)… нормально по основанию 2 (или 2-нормально).

До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как е и пи.
Так что вопрос о нормальности-ненормальности (и даже об абсолютной нормальности) ставится не только по отношению к людям, но и по отношению к числам).

СЛАУ
08.01.2010, 18:47
В продолжение первой маленькой мысли первого поста темы. Назовём новой мусульманской семьёй, или НМ-семьёй, семью, примерно описанную там, т. е. множество мужчин и женщин С, в котором не менее 2-х человек, в которое вместе с каждым мужчиной входят все его жёны (женщины, которых может быть до 4-х человек), а вместе с каждой женщиной входят все её мужья (мужчины, которых может быть до 4-х человек), а любые два человека А и B этого множества либо являются мужем и женой, либо связаны между собой через нескольких человек, то есть существуют люди А2, А3, А4,…, Аn-1 этого множества, такие, что Аi и Аi+1 – супруги для любого i от 1 до n-1, считая А1=A, Аn=B. Как видите, говоря о НМ-семье, я имею в виду только супружество, дети-родители-бабки-деды-внуки-тёти-дяди не рассматриваются, эти родственные отношения вне задачи. В первом посте темы, рассуждая о количестве людей в НМ-семье, я сказала примерно, что это количество может быть любым, вообще говоря, от двух («неполные» мусульманские семьи – «муж и жена» - тоже будем считать частными случаями НМ-семей) до бесконечности. Но я не рассмотрела важный вопрос: при каком отношении числа женщин к числу мужчин в множестве людей всех людей этого множества точно можно объединить в одну НМ-семью. Ведь, например, группу из двух мужчин и восьми женщин невозможно объединить в одну НМ-семью, а только в две, а двух мужчин и девять женщин невозможно объединить ни в одну НМ-семью, ни в несколько таковых, а группу из двух мужчин и семи женщин можно объединить в одну НМ-семью.
Введём обозначения. Пусть Ч – множество нескольких человек (мужчин и женщин); М – множество мужчин множества Ч; Ж – множество женщин множества Ч; N(Ч), N(М) и N(Ж) – число элементов в множествах Ч, М и Ж соответственно. Назовём дисбалансом множества Ч между количеством мужчин и количеством женщин, или просто дисбалансом множества Ч, наибольшее из отношений N(Ж)/N(М) и N(М)/N(Ж). Зададимся вопросом: при каком дисбалансе множества Ч из всех людей этого множества можно составить НМ-семью.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как можно составить НМ-семью из k человек с самым большим дисбалансом. Рассматривать это будем при помощи графов. Для определённости будем стараться составить из k человек семью с наибольшим отношением N(Ж)/N(М).
Очевидно, что для k=2 дисбаланс может быть только 1, для k=3 дисбаланс может быть только 2, для k=4 максимальный дисбаланс равен 3. Дальше графы будем строить так… Вершины, обозначающие мужчин, будем называть м-вершинами и изображать синими квадратами (смотрите рисунок 2), а вершины, обозначающие женщин, будем называть ж-вершинами и изображать красными кружками. Сначала отмечаем одну м-вершину и проводим четыре ребра к четырём ж-вершинам. Поскольку своего рода «валентность» первой м-вершины заполнена полностью, далее из какой-нибудь ж-вершины проводим ребро и его второй конец сделаем новой м-вершиной. Затем, как и в дальнейшем каждый раз как только из какой-нибудь ж-вершины проведено ребро с отмеченной новой м-вершиной на другом его конце, начинаем из этой м-вершины проводить рёбра и их другие концы отмечать как новые ж-вершины, и только после того, как проведём из этой м-вершины три новых ребра к трём новым ж-вершинам, т. е. только тогда, когда полностью заполним «валентность» м-вершины, из одной из ж-вершин проводим ребро, второй конец которого сделаем новой м-вершиной. Иллюстрацией этого построения графа является рисунок 2.

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/468d1356397175-ris-2-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg?stc=1

Рисунок 2.

1-й случай.
Из приведённого объяснения построения графа и рисунка ясно, что если все «валентности» всех м-вершин заполнены полностью, то
N(М)=1+д, (1)
N(Ж)=4+3д, (2)
где д=0, 1, 2, 3, …, - число мужчин, добавляемых к семье «один муж и его 4 жены»; добавление каждого из мужчин приносит в семью добавление ещё трёх женщин.
Отсюда
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+5. (3)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+4)/(д+1)=3+1/(д+1). (4)
Выразим дисбаланс непосредственно через число людей N(Ч), а не через какую-то промежуточную величину д. С этой целью из (3) выразим д через N(Ч), подставим полученное выражение в (4) и упростим. Получим
N(Ж)/N(М)=3+8/(2N(Ч)-1). (5)

2-й случай.
Если число людей в множестве Ч на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+4, (6)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф из предыдущего графа. Удалить одну вершину графа, не потеряв другие вершины, можно только удалив какую-нибудь из висячих ж-вершин (а они есть, в количестве как минимум 3). В результате у одной из м-вершин в новом графе «валентности» будут заполнены не полностью,
N(М)=д+1, (7)
N(Ж)=3д+3. (8)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+3)/(д+1)=3. (9)

3-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+3, (10)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (11)
N(Ж)=3д+2. (12)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+2)/(д+1)=3-1/(д+1), (13)
Или
N(Ж)/N(М)=3-4/(N(Ч)+1). (14)

4-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+2, (15)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (16)
N(Ж)=3д+1. (17)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+1)/(д+1)=3-2/(д+1), (18)
N(Ж)/N(М)=3-8/(N(Ч)+2). (19)

ТЕОРЕМА
1. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+5 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3+8/(2N(Ч)-1).
2. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+4 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает 3.
3. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+3 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-4/(N(Ч)+1).
4. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+2 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем пункт 1. Зафиксируем д=0, 1, 2, 3, … и, тем самым, число человек в множестве Ч k=4д+5. То, что требуется доказать, равносильно тому, что для каждой из пар чисел
(д+1; 3д+4); (д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); …; (3д+4; д+1) (20)
можно построить НМ-семью из k=4д+5 человек, число мужчин N(М) в которой равно первому числу пары, а число женщин N(Ж) равно второму числу пары.
То, что в НМ-семье из k=4д+5 человек (д=0, 1, 2, 3, …) может быть д+1 мужчин и 3д+4 женщин, доказано выше. Теперь докажем, что в НМ-семье число мужчин и число женщин могут образовывать пары
(д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); (д+4; 3д+1); … (2д+2; 2д+3). (21)
Составим д+1 м-вершин и 3д+4 ж-вершин в новый граф, изображающий НМ-семью, такой, как показано на рисунке 3.

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/469d1356397175-ris-3-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg?stc=1

Рисунок 3.

Легко посчитать, что количество висячих ж-вершин в этом графе
в=3+2(д-1)+3=2д+4.
Каждую пару висячих ж-вершин можно использовать для того, чтобы в графе одновременно сделать на одну ж-вершину меньше и на одну м-вершину больше, например, так, как показано на рисунке 4.

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/471d1356397175-ris-4-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg?stc=1

Рисунок 4.

Назовём эту операцию (одним) шагом. Рассматриваемый граф позволяет сделать
в/2=д+2
шагов. А для того, чтобы получить пары чисел (21) из первоначальной пары чисел (д+1; 3д+4), многократно «перебрасывая» единицу из второй компоненты пары в первую компоненту, достаточно
(2д+2)-(д+1)=д+1
шагов, значит, доказываемое верно. Далее, задача симметрична относительно мужчин и женщин, значит, просто переобозначая в графах, изображающих НМ-семьи с парами чисел мужчин и женщин (д+1; 3д+4) и (21), м-вершины в ж-вершины и наоборот, мы получим графы, изображающие НМ-семьи с остальными парами чисел мужчин и женщин из (20). Пункт 1 доказан полностью.
Пункты 2-4 доказываются совершенно аналогично.

СЛЕДСТВИЕ.
Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч) человек, где k=2, 3, 4, 5, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно.

Применяя это следствие к практике, можно сказать, что, если оценивать общее количество мусульман и мусульманок в мире скромным числом 1 млрд., то всех их можно объединить в одну семью при условии, что дисбаланс между количеством мужчин и количеством женщин не будет превышать 3-8*10-9 (если число мусульман и мусульманок в мире больше, а считается, что это так и есть, то допустимый дисбаланс ещё выше). Я полагаю, что реальный дисбаланс заведомо много, много меньше. Так что лозунг «Мусульмане всех стран, объединяйтесь… в одну семью!» в силе: объединение возможно, и даже не потребует смены пола ни от одного приверженца и ни от одной приверженки ислама!

metelev_sv
13.01.2010, 14:23
Вчера ходил на семинар. Речь шла о поляризующих (теперь уже супер-поляризующих :-) ) Нейтронных суперзеркалах.

Нейтроны с веществом взаимодействуют мало, поэтому отражаются плохо. Самый большой угол полного отражения при прочих равных у никеля. А задача уводить нейтроны в сторону актуальна. Например, чтобы поставить несколько установок на один пучок (выход из реактора). Добиваются больших углов отражения с помощью суперзеркал.

Идея проще всего объяснить, начав с монохроматора.

Сначала короткое предисловие. Во всех случаях речь идёт о стеклянной пластине, на которую напыляются слои металлических сплавов двух типов. Характеризуют такую структуру как правило функцией распределения потенциала в направлении перпендикулярно поверхности, вдоль поверхности она однородна. Потенциал характеризуется взаимодействием нейтрона с ядрами сплава, в подробности можно не лезть, для данного сплава это просто число. Аналог---потенциальная энергия шарика, катящегося по поверхности, а "распределение потенциала" это просто геометрия поверхности.

Ну вот, назад к монохроматору. Если напылением создать искусственную периодическую структуру, то брегговское отражение может быть более интенсивным, чем отражение от поверхности никеля. А суперзеркало это грубо говоря несколько монохроматоров, так что вместо они перекрывают большой диапазон длин волн и как бы продляют область полного отражения (увеличивают угол "полного отражения", эту характеристику принято называть m) в 2, 2.5 раза, до 5 сейчас делают, только надо понимать, что это не настоящее полное отражение и если m=2, то на "срезе" (в точке где заканчивается "полное отражение") коэффициэнт отражения составляет 0.8, при большем m ещё меньше.

Дальнейшее развитие этой идеи состоит в том, что если сделать структуру разной для нейтронов разной поляризации, то можно поляризовать нейтроны. Достигается это применением магнитных материалов. Они подбираются так, что с учётом намагниченности для нейтронов одной поляризации искусственная структура выглядит как "заборчик" а для нейтронов другой поляризации она выглядит (должна выглядеть) как чистое пространство. И после всей этой сверхструктуры идёт поглощающий подслой, который поглощает "неправильные" нейтроны.

Это всё конца 70-х годов и 80-х годов достижения, насколько я понимаю.

Семинар был о том, как улучшить поляризующую эффективность. Дело в том, что поляризующие зеркала отражают до 1% нейтронов "чужой" поляризации. Было выяснено, что происходит это из-за того, что на границах слоёв обнаруживается немагнитный слой, который для нейтронов "чужой" поляризации выглядит как паразитный "заборчик". Устранить его нельзя, но можно к каждому пику потенциала напылять слой материала с другой полярностью потенциала и эти два пика (один вверх, другой вниз) эффективно дают отсутствие пика, делают паразитный пик потенциала "прозрачным".

Ну вот, идея была экспериментально проверена, всё работает, поляризующая эффективность действительно сильно растёт, так что уже и измерить её сложно (слишком маленькая интенсивность "чужой" поляризации). Работа была опубликована, уже в 2010 году в Nuclear Instruments and Methods, автор Плешанов Николай.

Smetanin
13.01.2010, 15:06
не будет превышать 3-8*10-9
то есть всего несколько человек?

А другой крайний случай - какой будет максимальный дисбаланс при общем количестве людей 1 млрд. человек. Пусть соотношение мужчин/женщин может быть произвольным.

Smetanin
13.01.2010, 15:08
Речь шла о поляризующих (теперь уже супер-поляризующих :-) ) Нейтронных суперзеркалах.

А где используются поляризованные пучки нейтронов? Интересно :-[

metelev_sv
13.01.2010, 15:24
А где используются поляризованные пучки нейтронов? Интересно :-[

Для исследования всяких магнитных свойств образца. Магнитной структуры например, которая может отличаться от решёточной. Исследования доменов. Исследования динамики решётки с магнитной точки зрения.

СЛАУ
13.01.2010, 16:19
то есть всего несколько человек?

А другой крайний случай - какой будет максимальный дисбаланс при общем количестве людей 1 млрд. человек. Пусть соотношение мужчин/женщин может быть произвольным.Сметанин, чесслово я не поняла твоего комментария и твоего вопроса. Как ты это дисбаланс меряешь человеками, когда это безразмерная величина? Как видно из определения в моём посте, дисбаланс в группе людей равен отношению числа мужчин к числу женщин, если мужчин больше, и равен отношению числа женщин к числу мужчин, если женщин больше или если мужчин и женщин поровну. Таким образом, дисбаланс - это число, принадлежащее полуинтервалу от 1 (включительно) до плюс бесконечности. Ну, чтобы не было деления на ноль, будем рассматривать только группы людей, в которых есть хотя бы один мужчина и есть хотя бы одна женщина. Очень огрубляя результаты моих рассуждений, можно сказать, что при большом количестве людей из них всех можно составить одну НМ-семью, если на одного мужчину приходится 3 женщины (плюс-минус мизер, зависящий от числа людей в группе) или на одну женщину приходится 3 мужчины (плюс-минус мизер, зависящий от числа людей в группе), а также при промежуточных соотношениях между этими двумя крайностями. В смысле при N(М)/N(Ж) от 1/3 (плюс-минус мизер) до 3 (плюс-минус мизер). Или, ещё иначе говоря, при дисбалансе от 1 (включительно) до 3 (плюс-минус мизер). Если же нас совершенно не интересуют НМ-семьи, а интересует просто максимальный дисбаланс в группе из миллиарда людей, то он, разумеется, равен 999 999 999:1=999 999 999. Он достигается, когда из миллиарда человек один человек - мужчина, а все остальные - женщины, или когда, наоборот, один человек - женщина, а все остальные - мужчины. Но мусульманскому миру, кажется, не грозит такой дисбаланс.

Smetanin
13.01.2010, 16:49
Сметанин, чесслово я не поняла твоего комментария и твоего вопроса.
Ты взяла 1 миллиард человек и посчитала
всех их можно объединить в одну семью при условии, что дисбаланс между количеством мужчин и количеством женщин не будет превышать 3-8*10-9
Разве нельзя просто написать - 3-8 человек?
У тебя же задача про людей, можно на выходе тоже человеческий результат? :)
При максимальном дисбалансе на какое количество мужчин будет больше женщин (или наоборот)?

СЛАУ
13.01.2010, 17:17
Ты взяла 1 миллиард человек и посчитала

Разве нельзя просто написать - 3-8 человек?
У тебя же задача про людей, можно на выходе тоже человеческий результат? :)
При максимальном дисбалансе на какое количество мужчин будет больше женщин (или наоборот)?Я формулировала ответ не про то, НА сколько мужчин по максимуму в НМ-семье может быть больше, чем женщин (или наоборот), а про то, ВО сколько раз мужчин по максимуму в НМ-семье может быть больше, чем женщин (или наоборот). Так результат понятнее. Ответ: в 3 плюс-минус мизер раза (а мизер порядка одной стомиллионной).

СЛАУ
15.01.2010, 20:39
З а м е ч а н и е. В гонке за простотой изложения так-таки и произошло то, чего я долго избегала: неточная формулировка. В прошлом посте написана неправда. Дело в том, что задача на максимум мной не решена. Я не нашла максимального дисбаланса. Я совершенно точно доказала (конструктивно, предьявив в одних случаях графы, а в других случаях методы построения графов), что при дисбалансе от 1 (включительно) до 3-х (возможно, плюс или минус мизер) (тоже включительно) группу людей можно объединить в одну НМ-семью. Мизер зависит от количества людей в группе и для каждого количества людей совершенно точно вычисляется. Но я не доказывала, что при дисбалансе, большем 3-х (возможно, плюс или минус всё тот же мизер) группу людей нельзя объединить в одну НМ-семью.* Интуитивно кажется, что вроде бы нельзя. Но чем чёрт не шутит, может, и можно. Интуитивно вон было ясно, что любую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками, а сколько математики возились-доказывали это! Впрочем, возможно, доказательство того, что найденное мной число 3 плюс-минус мизер является максимумом - это далеко не проблема четырёх красок, решается гораздо легче. Но ведь и я не настоящий учёный. А как проще сформулировать мой результат, учитывая, что использовать слово "максимум" нельзя, я не знаю, по мне так данные раньше формулировки с использованием слова "дисбаланс" и так проще некуда.
________________
* Позднее, в посте от 29-го декабря 2012-го года - доказала.

СЛАУ
22.01.2010, 20:38
Вообще, конечно, НМ-семья с дисбалансом, близким к трём - штука хрупкая. Разведутся двое - мужчина и женщина, показанные стрелочками на рисунке 5

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/472d1356397691-ris-5-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg?stc=1

Рисунок 5.

нет, лучше, эффектнее, расположенные правее, где-то на середине длины этого графа, - и всё, распалась вся НМ-семья на две НМ-семьи, огромные-многомиллионные по численности, и те, кто раньше были родственниками, хоть и некровными, становятся чужими друг другу людьми и, возможно, конкурентами в борьбе за кусок хлеба или за кусок масла на этом хлебе. Ещё если умрёт какой-нибудь муж или какая-нибудь жена, тоже может произойти описанный Великий Раскол. Для того, чтобы НМ-семья была прочнее, всё-таки надо её составлять из множества людей с меньшим дисбалансом.

По Инету активно ходят две задачки. Пресимпатичные. Поломайте себе голову над ними на досуге.

№1.
Имеется резиновый жгут длиной 1м. По жгуту со скоростью 1см/мин ползет червяк. Свой путь он начинает с одного конца жгута. По истечении каждой минуты жгут растягивается и его длина возрастает на один метр. Понятно, что растяжение происходит равномерно по всей длине жгута. Возникает вопрос: доползет ли когда-нибудь червяк до конца жгута? При этом считаем нашего червяка бессмертным и неутомимым.

№2.
Темная комната. 100 монет. Двадцать монет лежат орлом вверх. Нужно разделить так, чтобы в каждой группе лежало одинаковое количество орлом вверх.

Первую я решила сама, хотя и не таким красивым способом, как можно было, вторую не успела: на форуме, где задали задачку, написали решение, и я не устояла, прочитала его. Но удовольствие я получила от обеих задачек.

СЛАУ
22.01.2010, 21:17
И ещё задача от меня.

Имеется задача о 50-ти монетах: Темная комната. Пятьдесят монет, как повернуты заранее неизвестно. После некоторых операций должно получиться, что 25 лежат орлом вверх, 25 - решкой.Но требуется не решить её, а доказать, что решить её нельзя.

Абука
22.01.2010, 22:27
И ещё задача от меня.
Темная комната. Пятьдесят монет, как повернуты заранее неизвестно. После некоторых операций должно получиться, что 25 лежат орлом вверх, 25 - решкой.
Имеется задача о 50-ти монетах: Но требуется не решить её, а доказать, что решить её нельзя.

Не, ну это уж очень просто...

Предположим, у нас есть совершенный алгоритм переворачивания монет "вслепую". И предоположим, он состоит из n переворачиваний. Поскольку не имеет смысла дважды переворачивать одну и ту же монету, то n<=50.
Одновременно с тем в состояние 25-25 мы должны за эти n операций попадать из любого расклада. Переворачивание имеет себе обратное действие - себя же, т.е. за те же n операций мы из состояния 25-25 должны попадать в любой возможный расклад. Но раскладов значительно больше, чем 50 (даже если конкретное расположение монет нас не интересует). А потому пришли к противоречию.

Намного интереснее другая задачка-гробик :)
Возьмем любое натуральное число. Если оно делится на 2 - разделим его на 2, а если не делится - умножим его на 3 и прибавим единицу.
Например: 15 -> 46 -> 23 -> 70 -> 35 -> 106 -> 53 -> 160 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> ... (ну и дальше цикл: 4, 2, 1)
Надо доказать или опровергнуть утверждение: начиная с любого натурального числа рано или поздно попадем в цикл 4 -> 2 -> 1 -> 4

:D

P.S. предлагаю особо зубы не ламать. ;) Это задачка похлеще последней теоремы Ферма

СЛАУ
22.01.2010, 23:28
Не, ну это уж очень просто...
А Вам никто сложную и не обещал...

Предположим, у нас есть совершенный алгоритм переворачивания монет "вслепую". И предоположим, он состоит из n переворачиваний. Поскольку не имеет смысла дважды переворачивать одну и ту же монету, то n<=50.
Одновременно с тем в состояние 25-25 мы должны за эти n операций попадать из любого расклада. Переворачивание имеет себе обратное действие - себя же, т.е. за те же n операций мы из состояния 25-25 должны попадать в любой возможный расклад. Но раскладов значительно больше, чем 50 (даже если конкретное расположение монет нас не интересует). А потому пришли к противоречию.
Мне нравится!

СЛАУ
23.01.2010, 01:56
Моё доказательство. Напоминаю,Имеется задача о 50-ти монетах: Темная комната. Пятьдесят монет, как повернуты заранее неизвестно. После некоторых операций должно получиться, что 25 лежат орлом вверх, 25 - решкой. Но требуется не решить её, а доказать, что решить её нельзя.Доказательство от противного. Предположим, у нас есть совершенный алгоритм переворачивания монет «вслепую». Тогда он (этот алгоритм) сводится к конечному числу переворачиваний монет. Каждое переворачивание монеты изменяет чётность количества "орлов" (т. е. монет, лежащих орлом вверх) на противоположную. Значит, чётное число переворачиваний монет не меняет чётность количества "орлов", а нечётное число переворачиваний монет меняет чётность количества "орлов" на противоположную. Следовательно, если в исходной раскладке чётное число "орлов", то алгоритм должен содержать нечётное число переворачиваний монет, ведь в конце должно получиться 25 "орлов" - нечётное количество. Если же в исходной раскладке нечётное число "орлов", то алгоритм должен содержать чётное число переворачиваний. Таким образом, совершив все переворачивания алгоритма и сосчитав их, мы сможем в темноте мистическим образом :o узнать, чётное или нечётное число "орлов" было изначально :lol: !!!
Ну, вот... что, разумеется, невозможно и приводит к противоречию, то есть вышеозначенного алгоритма не существует.

metelev_sv
23.01.2010, 23:30
№2.
Темная комната. 100 монет. Двадцать монет лежат орлом вверх. Нужно разделить так, чтобы в каждой группе лежало одинаковое количество орлом вверх.

Нужно отделить 20 монет. Допустим, х из них лежат орлом вверх. Тогда в оставшейся группе из 80 монет орлом вверх лежат 20-х. Теперь, если перевернуть все 20 отделённых ранее монет, то очевидно, в этой группе орлом вверх будут лежать тоже 20-х монет.

Задачу №1 я когда-то решал. Так что писать решение не буду. Тем более, что я его забыл :)

А вот такая задача, решение которой мне рассказали, но оно выглядит искусственным, может кто придумает получше. Сидит лиса. По прямой мимо неё бежит заяц. В момент когда расстояние между ними минимально лиса начинает гнаться за зайцем, всё время сохраняя направление "на зайца" и скорость ту же самую, с которой бежит заяц. Какое между ними в конце концов будет расстояние (через бесконечное время)? Расстояние от лисы до прямой, по которой бежит заяц, L

СЛАУ
06.02.2010, 11:48
А вот такая задача, решение которой мне рассказали, но оно выглядит искусственным, может кто придумает получше. Сидит лиса. По прямой мимо неё бежит заяц. В момент когда расстояние между ними минимально лиса начинает гнаться за зайцем, всё время сохраняя направление "на зайца" и скорость ту же самую, с которой бежит заяц. Какое между ними в конце концов будет расстояние (через бесконечное время)? Расстояние от лисы до прямой, по которой бежит заяц, LСерёжа, у меня пока ничего не получается. Может быть, и не получится. Единственное решение, которое я могу предложить - шутливое. Заходим в Википедию и смотрим статью "Трактриса". Там написано, что трактриса - это кривая влечения (то есть кривая, которую описывает тело, которое тянут/влекут на верёвочке), а также часть кривой погони в случае, если скорости убегающего и догоняющего одинаковые. Длина верёвочки не меняется в процессе влечения, следовательно, в конце концов через бесконечное время расстояние между зайцем и лисой будет то же, что и в начале погони, то есть L.

Разгадайте ребус, который я только что смастерила:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=498&stc=1&d=1357782337

Идея этого ребуса, довольно симпатичная, не моя, а одной моей бывшей-давней ученицы-отличницы. Крошечная подсказка: ребус находится в этой теме не случайно: слово, в нём зашифрованное, имеет отношение к математике.

Smetanin
06.02.2010, 23:28
Симпатичный ребус - ТРИлИмОНа - ТРИЛЛИОН - сочный ребус, но простой :)
А вот симпатичного решения с лисой у меня не получается :hello:

ycheff
06.02.2010, 23:54
Вот ребус моего сочинения:

§-2

Smetanin
06.02.2010, 23:58
Вот ребус моего сочинения:

§-2

Вы очень кратки, граф ycheff ;)

ycheff
07.02.2010, 00:34
Кра-сть - с-ра тал.:up:

СЛАУ
16.02.2010, 11:58
Вот вам задачка про трёх гномиков. В одном дворике жили 3 гномика: Красный, Синий и Зелёный. Красный жил в красном домике (см. рис.),

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=499&stc=1&d=1357782871

Синий в синем и Зелёный – в зелёном. У каждого гномика были свои ворота, чтобы выйти из дворика на улицу. У Красного гномика – красные, у Синего – синие и у Зелёного – зелёные. Однажды утром каждый из гномиков вышел из своего домика, просеменил по дворику и вышел из дворика через свои ворота на улицу. От перемещений гномиков остались следы – линии. Оказалось, что никакие 2 линии во дворике не пересекались. Нарисуйте линии, по которым гномики могли так выйти.

Абука
16.02.2010, 15:01
ну как-то так (см. миниатюры).
таких игрушек много, мне с детями малыми если надо время убить, а одновременно с тем не скучать и что-то делать, то вот в такие игры играем.
Например, игры подобные:
http://www.design-warez.ru/uploads/posts/2009-05/1242835932_firewoda.jpg
провести к каждому домику электричество, воду и газ, так, чтобы линии не пересекались.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=501&stc=1&d=1357783276

СЛАУ
16.02.2010, 17:45
ну как-то так (см. миниатюры).
Правильно.

провести к каждому домику электричество, воду и газ, так, чтобы линии не пересекались.Абука, шуткуешь? Это известная задача, которая не имеет решения.

СЛАУ
16.02.2010, 18:44
Ещё задачка. Разделить эту фигуру на 4 равные по площади и форме фигурки.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=500&stc=1&d=1357783023

Фигурки должны быть такими, что, будучи вырезанными из бумаги, они не распадаются на части, и составлять фигурки из кусочков нельзя.

Абука
16.02.2010, 20:23
Абука, шуткуешь? Это известная задача, которая не имеет решения.

ну вот уже и постебаться нельзя :D
забавно ж наблюдать, как народ пытается переоткрыть критерий планарности графа (он же теорема Куратовского-Понтрягина)

Абука
16.02.2010, 20:32
Ещё задачка. Разделить эту фигуру на 4 равные по площади и форме фигурки.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=500&stc=1&d=1357783023

Фигурки должны быть такими, что, будучи вырезанными из бумаги, они не распадаются на части, и составлять фигурки из кусочков нельзя.

дополню классику классикой.
задачка та же, но надо разрезать:

ycheff
16.02.2010, 20:48
Как-то так делим:
http://i060.radikal.ru/1002/d0/d27bb30235ef.jpg

СЛАУ
17.02.2010, 08:49
Абука, http://www.razgovorium.ru/members/50-albums23-picture180.jpg решение. Спасибо за задачку)

Ычев (кстати, я правильно читаю ник?), именно так и делим)

СЛАУ
17.02.2010, 11:41
Вот ещё задачка на разрезание. Разрезать фигуру

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=502&stc=1&d=1357783852

на 3 равные фигурки.
Вижу смысл в том, чтобы прятать ответы на такие задачки в спойлеры.

ycheff
17.02.2010, 20:06
Ничего, если фигурки равные, но не конгруэнтные?

Ычев (кстати, я правильно читаю ник?)
Ja wohl.

СЛАУ
17.02.2010, 22:41
Ничего, если фигурки равные, но не конгруэнтные?
Ja wohl.
1. Я не знаю, в чём разница между этими двумя понятиями. Но если Вы имеете в виду, что у Вас получились не только фигурки, которые можно совместить друг с другом при помощи параллельного переноса и поворота, но и фигурки, для совмещения которых друг с другом нужно ещё и применить перемещение осевая симметрия, то да, ничего.
2. И немецкого я тоже не знаю. Кажется, это было что-то вроде "Да"?

ycheff
18.02.2010, 00:26
1. Можно ли для совмещения фигур выносить их из плоскости чертежа?
2. Да, так.

СЛАУ
18.02.2010, 07:35
1. Можно.

ycheff
18.02.2010, 07:55
Делим фигуру:
http://s56.radikal.ru/i152/1002/a3/385099d1bded.jpg

СЛАУ
18.02.2010, 08:03
Ычев, это правильное решение!)
А у меня есть ещё задачка на разрезание: вот эту фигуру

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=503&stc=1&d=1357783951

нужно разрезать на 4 равные фигурки. И опять под равными фигурками подразумеваются фигурки, которые можно совместить, а для совмещения фигурки можно выносить из плоскости чертежа.

Smetanin
19.02.2010, 21:04
вот так :-[
http://s55.radikal.ru/i148/1002/1c/bdb314fb3b87.jpg

СЛАУ
23.02.2010, 17:31
вот так :-[
http://s55.radikal.ru/i148/1002/1c/bdb314fb3b87.jpgПравильно)

ЗАДАЧКА
Имеется последовательность семи чисел. Первые 6 членов этой последовательности даны: 2, 2, 2, 2, 4, 2. Нужно угадать седьмой член последовательности.

Эта задачка яндексится сходу, поэтому не искать ответ при помощи Инета!

Smetanin
23.02.2010, 20:21
2 - не тук уж много последовательностей из 7 СИмволов :)

СЛАУ
23.02.2010, 21:02
Какой Вы молодец, Сметанин! Правильно)

СЛАУ
24.02.2010, 08:06
Вот ссылка на жж-шный пост, откуда взята эта задачка: _http://vitay.livejournal.com/99023.html
Там есть ещё два возможных решения.

СЛАУ
24.02.2010, 19:18
Некоторое время назад Абука задала задачу:
дополню классику классикой.
задачка та же, но надо разрезать:

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/112d1266337949-1232964999_0221-3950-kopiya.jpg


(имелось в виду: на 4 равные фигурки). Я решила, что решила эту задачку))):
Абука, http://www.razgovorium.ru/members/50-albums23-picture180.jpg решение. Спасибо за задачку)

Но сегодня я узнала, что существует ещё один, принципиально отличный от предложенного мной, способ разрезать рассматриваемую трапецию на 4 равные фигурки. Предлагаю форумчанам найти его))

СЛАУ
03.03.2010, 21:24
У меня слёзы на глаза наворачиваются от сиротливого вида задачки из прошлого поста, которую ни-кто:sad:, ни-кто не хочет решить:sad:.
И тем не менее я ещё и добавлю к ней 2 загадки:
1. Протянулся мост на 7 вёрст, а в конце моста - золотая верста.
2. Кошка в окошко - я за хвост!

Я хочу предложить форумчанам поделиться друг с другом в этой теме информацией о книгах по математике и физике. Если по Вашему мнению не прочитать какую-нибудь определённую книгу (по математике-физике) - это потерять полжизни, напишите здесь, пусть и другие знают о ней и, может быть, найдут и прочитают. В наше время найти и прочитать книгу, зная её название и авторов, горазда легче, чем раньше, на то и есть Инет.

Советы на эту тему от меня. На другом форуме Метелёв Серёжа говорил о школьном факультативе по математике: что хорошо было бы рассмотреть на нём. В связи с этим вопросом мне в первую очередь вспоминаются 2 книги:
1. Д. Пойа, "Как решать задачу";
2. М. Балк, Г. Балк, "Поиск решения".
Ничего лучшего для того, чтобы научить учеников решать математические задачи, я не знаю. Пройтись по всем темам и задачам книги "Поиск решения" плюс посвятить урок идеям книги Пойа - золотое дело. Возможно, я залепила банальный абзац, сообщила то, что ежу понятно, ну, и ладно...

А теперь наоборот: просьба о советах для меня. Расскажите мне, пожалуйста, об основных книгах по математике-физике (особенно физике!), которые мне могут понадобиться для самостоятельного освоения этих двух дисциплин. Объём, который мне хотелось бы освоить: то, что знает любой реально учившийся (а не ваньку валявший) выпускник физфака плюс то, что знает опять же любой реально учившийся выпускник матфака. Ничего узкоспециального, но и не слишком по верхушкам. Что я сама знаю: что по матану лучший учебник - 3-хтомник Фихтенгольца, по ТФКП - 2-хтомник Маркушевича, и их есть у меня. Ещё у меня есть "Общая физика" Савельева, его сборник задач по физике, все тома Ландау-Лифшица, все основные обычные школьные учебники по физике и, разумеется, по математике, даже все тома Фейнмановских лекций по физике и распечатанная на листах А4 моя любимая "Методика решения задач по физике" Кобушкина. Ну, это не всё, но основное. Когда будете давать мне советы, не бойтесь сказать что-то общеизвестное: я-то как раз вполне могу этого не знать, ещё как могу! - потому и спрашиваю. Вообще, в первую очередь меня интересуют учебники и задачники.

А ещё я бы хотела знать название одной конкретной книги... Когда я поступила на 1-й курс матфака, мне и каждому моему сокурснику-каждой сокурснице в библиотеке выдали книжку. В ней для изучения английского языка были тексты на английском типа научно-популярных, примерно на математические темы, жутко интересные. Хорошо помню 2 отрывка, которые сама переводила в качестве домашнего задания. В одном рассказывалось о студенте-математике, поспорившем с преподавателем-нематематиком о реальности числа мнимая единица. В другом рассказывалось об ограниченной вселенной-круге, границы которой житель этой вселенной, тем не менее, никогда не достигнет, потому что этот житель уменьшается в размерах при приближении к границе круга-вселенной, а вместе с этим уменьшается и длина его шага. Хотела бы я прочитать и остальные тексты этой книжки, но, увы, не знаю названия и прочего типа фамилии составителя или редактора, а потому не могу приступить к поиску этой книги в Инете. Подскажите, пожалуйста.

Абука
03.03.2010, 22:35
Я, честно говоря, не люблю непрофильные форумы именно за то, что любая дискуссия будет поверхностной. На таких вот форумах обо всём и ни о чем можно только играть, имхо. А с серьезными вопросами прямая дорога на физ-мат форумы.

Советовать литературу? Ну это ж тяжело... Надо стиль читателя уловить...
Я вот Фихтенгольца не осилила. многабукаф :D имхо, нудно, затянуто и слишком художественно, не матан это, короче. Соответственно, вкусы у нас явно не совпадают. Так что после этого советовать?

Могу сказать только, что в прошлом было время, когда я задавалась вопросом: "скажи-ка, дядя, ведь не даром?..." И книжка, которая меня убедила, что "таки не даром", была "Математическая смесь" Литлфуда.
Вот эта книга - это "моё всё". Если пойдет - тогда можно продолжать разговор. :tea:

СЛАУ
10.04.2010, 12:32
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=488&stc=1&d=1356783546

Не знаю.Вообще то как я понимаю осмостическое давление:в "мешке" с мембраной сироп,погружён в воду.Через мембрану могут "пройти" только молекулы воды,как более мелкие,за счёт чего и появляется осмотическое давление(там до нескольких атмосфер,за счёт чего травушка и крошит бетон-асфальт).После уже разбавленный "сироп" поднимаясь по трубке выливается в воду.В окончание когда составы наружнего и внутреннего "сиропа" выравняются(ведь "сироп" выливаясь в воду бодяжит его),то и осмотическое давление прекратится.Так вот,только предположил,что если на некой высоте трубку сделать не из непроницаемого материала,а из мембраны,то снова просачиваться будет только вода.:)

Может тогда объяснишь Руслану, почему из замкнутого сосуда не получится вечный двигатель?

ОТВЕТ НА МАНЖЕТАХ НА ВОПРОС, ЗАДАННЫЙ СМЕТАНИНЫМ

ПОЯСНЕНИЯ К РИСУНКАМ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ДОПУЩЕНИЯ.
Рассмотрим два сосуда, изображённые на рисунке 1.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=489&stc=1&d=1356783622

Рис. 1.

В дальнейшем будем их называть широкий сосуд и узкий сосуд (нетрудно догадаться, который из них который). Оба сосуда открыты сверху, узкий сосуд снизу ограничен полупроницаемой мембраной, пропускающей молекулы воды и не пропускающей молекулы соли, она изображена широкой зелёной полосой. В широкий сосуд налита чистая вода (показана голубым цветом), в узкий сосуд налит раствор соли (показан синим цветом). В силу осмотического давления уровень поверхности раствора соли е будет выше уровня поверхности чистой воды с. Обозначим
h=е-с. (1)
Будем считать, что плотность чистой воды и плотность раствора соли, скольки бы процентным ни был раствор, одинаковы, и будем обозначать эту плотность русской буквой «п» (от слова плотность: с греческой буквой «ро» могут быть проблемы при просмотре текста на форуме). Будем так же считать, что широкий сосуд очень объёмен, так что изменение уровня поверхности жидкости в маленьком сосуде не влечёт изменения уровня поверхности жидкости в большом сосуде. Ну, дообговорим допущения: будем ещё считать, что при всех процессах, которые мы будем рассматривать, температура не меняется.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ.
В дальнейшем будем пользоваться основным уравнением гидростатики
pа=p0+пghа, (2)
где pа – давление в точке, расположенной в жидкости на уровне а, hа – расстояние от свободной поверхности жидкости до уровня а, p0 – давление на поверхности жидкости, g - ускорение свободного падения, п – как уже говорилось выше, плотность жидкости.

Кроме того, будем пользоваться уравнением Вант-Гоффа для осмотического давления pосм:
pосм=nRT/V, (3)
где n – число молей для растворённого вещества в объёме V раствора, R – универсальная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура.

ДАВЛЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ТОЧКАХ ЖИДКОСТЕЙ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=490&stc=1&d=1356783665
Рис. 2

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=491&stc=1&d=1356783703
Рис. 3

В ситуациях, изображённых на рисунках 1, 2 и 3 в чистой воде поверхностями уровня (поверхностями равного давления) являются горизонтальные плоскости z=const, на глубине h1 в любой точке давление равно
p1=p0+пgh1 .
При этом p0 =pатм - атмосферное давление, оно показано на рисунках 1-3 чёрными жирными стрелочками.
В растворе поверхностями уровня тоже являются горизонтальные плоскости, но там присутствует дополнительное осмотическое давление pосм, поэтому при переходе через границу раздела воды и раствора в направлении от воды к раствору давление скачком увеличивается на росм. Таким образом, на одной горизонтальной плоскости в воде одно давление, а в растворе – другое, большее.

Вычислим давление в точке А1, расположенной в воде на уровне z=а-0 где-нибудь под мембраной (рис. 1). Оно будет равно
pа-=pатм+пg(с-а). (4)
Вычислим теперь давление в точке А2, расположенной очень близко к точке А1, но в растворе, над мембраной, на уровне z=а+0. Так как в ней по сравнению с точкой А1 добавляется осмотическое давление, то
pа+=ра-+росм=pатм+пg(с-а)+pосм. (5)
В то же самое время точка А2 расположена в растворе на расстоянии е-а от свободной поверхности раствора, поэтому
pа+=pатм+пg(е-а). (6)
Сравнивая два эти равенства и используя (1), находим
pосм=пg(е-с)=пgh. (7)

ИТАК, ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ.
Попытаемся из этой системы сделать вечный двигатель, воспользовавшись идеей Руслана: установив вторую полупроницаемую мембрану в узкий сосуд, например, на уровне d или b (рисунки 2 и 3 соответственно). Быть может, тогда через эту мембрану будет вверх просачиваться опять чистая вода, которая будет стекать вниз из узкого сосуда в широкий, совершая при этом полезную работу. Затем эта вода опять в процессе осмоса будет втянута в узкий сосуд и опять через верхнюю мембрану поднимется над ней, продолжая циклический процесс.

РИСУНОК 2 - ВОДА СКВОЗЬ ВЕРХНЮЮ МЕМБРАНУ НЕ ПРОСТУПИТ НАВЕРХ
Расположим на уровне d, расположенном выше с, но ниже е, полупроницаемую мембрану (рис. 2) и подождём, когда движение жидкостей прекратится. Какое распределение давлений и что вообще мы получим? Из уранения Вант-Гоффа следует, что осмотическое давление в этом случае будет то же, что и в первом случае, так как, в сущности, оно зависит только от количества молекул соли в узком сосуде, а это число не могло поменяться: мембраны надёжно держат молекулы соли в узком сосуде.

Давление в воде в точке А1 на уровне а-0 под мембраной для рисунка 2 будет тем же, что мы вычислили раньше для рисунка 1 (см. формулу 4). Значит, и давление в соседней точке А2 на уровне а+0 над мембраной будет тем же, что мы вычислили раньше (см формулы 5 и 6). Следовательно, в соответствии с основным уравнением гидростатики (2), в точке D1, расположенной в растворе на уровне z=d-0 под верхней мембраной, давление будет
pd-=pа+-пg(d-а)=pатм+пg(е-d).
Внешнее давление, действующее на верхнюю мембрану, уравновешивает давление pd- снизу, поэтому по модулю тоже равно pатм+пg(е-d). Его составляющая, равная по модулю pатм, показана на рис. 2 чёрной стрелочкой, его составляющая, равная по модулю пg(е-d), показана на рис. 2 красной стрелочкой.
Вода сквозь верхнюю мембрану не проступит наверх. Докажем это методом от противного. Пусть, напротив, сквозь верхнюю мембрану может проступить вода, причём такое её количество, что она в узком сосуде покроет верхнюю мембрану слоем толщины h2. Тогда по формуле гидростатики давление в точке D2 на дне этого слоя, на уровне d+0, будет
pd+=pатм+пgh2.
С другой стороны, давление при переходе от точки D1 к точке D2 должно уменьшатся на величину осмотического давления, значит, с учётом (7),
pd+=pd--pосм=pатм+пg(е-d)–пgh.
Приравняв правые части двух последних равенств и произведя элементарные преобразования с учётом (1), получим
пgh2=пg(с-d)<0,
откуда
h2<0.
Но толщина слоя воды не может быть отрицательной. Мы пришли к противоречию, которое и означает, что сквозь мембрану не может проступить вода.

РИСУНОК 3 – ВОДА ПРОСТУПИТ СКВОЗЬ ВЕРХНЮЮ МЕМБРАНУ ВВЕРХ, НО ЕЁ УРОВЕНЬ СОВПАДЁТ С УРОВНЕМ ВОДЫ В ШИРОКОМ СОСУДЕ.
Теперь рассмотрим случай, когда верхняя мембрана расположена на каком-нибудь уровне b, расположенном ниже уровня с, но в узкой части узкого сосуда (рис. 3). Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям для рисунка 2, получим, что в точке B1 в растворе на уровне b-0 имеется давление
pb-=pатм+пg(е-b).
Внешнее давление, действующее на верхнюю мембрану, уравновешивает давление pb- снизу, поэтому по модулю тоже равно pатм+пg(е-b). Его составляющая, равная по модулю pатм, показана на рис. 3 чёрной стрелочкой, его составляющая, равная по модулю пg(е-b), показана на рис. 3 красной стрелочкой. Давления pb- достаточно для обратного осмоса, и сквозь верхнюю мембрану пройдёт вода, но, опять при помощи основного уравнения гидростатики (2), можно показать, что воды проступит ровно столько, чтобы образовать над верхней мембраной слой толщиной с-b, что исключает использование этого эффекта для получения полезной работы, ведь уровни воды в широком и в узком сосудах окажутся совершенно одинаковыми.
Вывод: данная система функционировать как вечный двигатель не будет.

Smetanin
12.04.2010, 15:40
Но сегодня я узнала, что существует ещё один, принципиально отличный от предложенного мной, способ разрезать рассматриваемую трапецию на 4 равные фигурки. Предлагаю форумчанам найти его))
А можно ответ в студию? :-[

СЛАУ
12.04.2010, 16:07
А можно ответ в студию? :-[Ты меня пугаешь, Сметанин. Неужели не получилось решить? Ну, изволь:


http://www.razgovorium.ru/members/50-albums23-picture181.jpg

(На всякий случай ссылка на эту же картинку: _http://s43.radikal.ru/i101/1004/a3/fa1d49f42477.jpg ).

Smetanin
12.04.2010, 16:16
Ты меня пугаешь, Сметанин. Неужели не получилось решить?
Да, решение впечатляет! :up:
Я такие задачки плохо решаю, такого варианта у меня и близко не было :(

СЛАУ
17.04.2010, 12:27
Автор предложенной недавно конструкции из 42 пятиугольных и шестиугольных деталей считает ее важным преимуществом перед традиционной конструкцией то, что объект в результате получается более... Какой?

сферический (круглый) футбольный мяч!
Итак, есть божественно красивый, хотя и древний многогранник икосаэдр (рис. 1).

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture158.jpg

Рис. 1

Если у него отпилить углы, то получится новый многогранник, гранями которого будут 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников (рис. 2).

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture179.jpg

Рис. 2.

Если его "надуть", то получится современный футбольный мяч.
Как заметил в своей задачке Сметанин, сейчас есть предложение делать более круглые мячи, из 12 пятиугольных и 30 шестиугольных деталей (рис. 3).

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=477&stc=1&d=1356406865

Рис. 3.

Как легко видеть, это геометрическое тело, может быть, и "более круглое", то есть имеет форму, более близкую к шару, но, в отличие от обычного футбольного мяча, не имеет аналога-многогранника в том смысле, что склеить жёсткие правильные пяти- и шестиугольники по данной схеме и получить многогранник (назовём его М) невозможно. Докажем это методом от противного. Допустим, многогранник М реализуем и его изображение представлено на рис. 4. Тогда правильные шестиугольники 1, 2 и 3 могут лежать только в одной плоскости. Далее, шестиугольники 3, 4 и 5 тоже могут лежать только в одной плоскости. Следовательно, все уже упомянутые шестиугольники лежат в одной плоскости. Продолжая эти рассуждения, легко показать, что вообще все шестиугольники многогранника М лежат в одной плоскости, что противоречит определению многогранника. Полученное противоречие доказывает нереализуемость многогранника М.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=478&stc=1&d=1356406893

Рис. 4.

А вообще чудесатости какие-то: на днях нашла Яндексом статью про этот "новый мяч" и даже сохранила из неё себе на компьютер изображение этого мяча, а сегодня как не Яндексю, ни эту, ни хоть какую-нибудь статью про "новый мяч" найти не могу. Кто найдёт, киньте мне, пожалуйста, ссылку и подскажите, по какому запросу нашли.

Smetanin
17.04.2010, 13:00
Я не понял, а где у тебя на картинке пятиугольники???

СЛАУ
17.04.2010, 13:07
Я не понял, а где у тебя на картинке пятиугольники???Ай, сама только что заметила! 5 минут - и будут!

Добавлено через 6 минут
Готово!

Smetanin
17.04.2010, 13:09
Источник(и): "Наука и жизнь", 2008, N 7. – С. 100.
Комментарии: Йос Лурие предложил новую конструкцию футбольного мяча.
;)
А в моей задаче не говорилось, что многоугольники правильные ;)

СЛАУ
17.04.2010, 15:11
Мне аж самой интересно: сяду я просчитывать этот многогранник с неправильными шестиугольниками, или всё обойдётся.

СЛАУ
18.04.2010, 21:28
У меня не решается задача.

Индуктивность цепи увеличили в 2 раза, уменьшив при этом сопротивление также в 2 раза. Как изменится ток самоиндукции при неизменной скорости изменения потокосцепления? Ответ поясните.
1) Уменьшится в 4 раза
2) Уменьшится в 2 раза
3) Не изменится
4) Увеличится в 2 раза
5) Увеличится в 4 раза.

Мне очень стыдно пользоваться этой темой для такого случая, но, может быть, кто-нибудь поможет?

metelev_sv
18.04.2010, 23:42
Ток самоиндукции это наверное когда цепь размыкаешь, а он ещё течёт (или наоборот, замыкаешь а он не течёт). По идее индуктивность влияет на характерное время, например время в течение которого ток меняется в е раз. А вот активное сопротивление влияет именно на ток. Уменьшив его в 2 раза, ток увеличиваем тоже в 2 раза, то есть по-моему ответ №4 верный. Думаю так.

А слово "потокосцепление" вообще никогда раньше не видел :)

ycheff
19.04.2010, 00:28
Ток самоиндукции пропорционален индуктивности и обратно пропорционален сопротивлению.
Итого - в 4 раза вырастет.

metelev_sv
19.04.2010, 00:52
Ток самоиндукции пропорционален индуктивности

Не для того, чтобы поспорить, а для общего образования---а собственно почему? Можно это как-то просто себе представить? Допустим, если напряжение линейно нарастает, ток тоже должен линейно нарастать, но с запаздыванием, так ведь? Или если внезапно включаем напряжение на концах катушки, ток ведь не может течь "в обратную сторону" или подскочить выше, чем стационарный? Единственное исключение возможно, если имеется в виду, что при разрыве цепи возникает колебательный контур, конденсаторная часть которого образована ёмкостью разрыва.

ycheff
19.04.2010, 19:03
В задаче (в неявной форме) анализируется т.н. индуктивный фильтр, в основе которого - самоиндукция в контуре. А постоянная времени для него L/R - также пропорциональна току самоиндукции.

metelev_sv
20.04.2010, 13:27
Вопрос на самом деле остался, в голове "дозрел" и теперь выглядит так: вот есть катушка ни к чему не подключенная, ток равен нулю. Подключим её к батарейке, через большое время ток стабилизируется, назовём стационарный ток I0. Вопрос: может ли ток самоиндукции превышать стационарный ток I0?

Я бы сказал (сходу), что нет, не может, потому что напряженность магнитного поля пропорциональна току, следовательно если при отключении ток возрастает, то и поле возрастает и почему и как должен остановиться этот процесс непонятно.

Как ни крути, эффект возникает за счёт энергии запасённой в магнитном поле. И время необходимо должно включаться в оценки. Если поле мгновенно "сдувается" это одно, и ток действительно может быть очень большим, а если долго, то совсем другое.

Исходя из вышеизложенного делаю вывод (может быть неправильный), что если "мгновенность" действительно имеет место быть, это повод трактовать процесс как колебательный :) А если нет, то ток не может превышать стационарный, перед отключением.

По-хорошему конечно, надо бы в книгах порыться, но это уже тогда отдельная история будет, а мне не хочется сейчас погружаться в изыскания :)

ycheff
20.04.2010, 19:09
Если в контуре есть кроме индуктивности еще и емкость, то процесс станет колебательным. Включение или выключение даст внешнюю силу, в результате получится некий процесс вынужденных колебаний, характер которых определится соотношением параметров.

metelev_sv
20.04.2010, 21:13
Если в контуре есть кроме индуктивности еще и емкость, то процесс станет колебательным. Включение или выключение даст внешнюю силу, в результате получится некий процесс вынужденных колебаний, характер которых определится соотношением параметров.

Это понятно, непонятно с током самоиндукции. Если он пропорционален индуктивности, то получается, 1) он может быть сколь угодно большим и 2) непонятно как быть с магнитным полем, которое он порождает.

ycheff
20.04.2010, 21:56
получается, 1) он может быть сколь угодно большим и 2) непонятно как быть с магнитным полем, которое он порождает.
Это все равно, что сказать - 1) кинетическая энергия пропорциональна массе, значит она может быть сколь угодно большой и 2) непонятно, как быть с гравитацией...
Конечно - нет границ в определенных пределах... Самоиндукция - и есть выплескивание накопленной энергии ("декабристы накопили большую потенцию и излили ее на Сенатскую площадь"). Индуктивность по сути - мера магнитной инерции.

metelev_sv
21.04.2010, 11:52
Это все равно, что сказать - 1) кинетическая энергия пропорциональна массе, значит она может быть сколь угодно большой


Ничего подобного. Масса не зависит от кинетической энергии (в рамках школьной программы). В нашем случае энергия запасённая в магнитном поле зависит от силы тока, который в катушке течёт. Мы размыкаем проводник -> течёт большой ток самоиндукции -> появляется поле большее, чем было изначально???

СЛАУ
27.04.2010, 19:44
YouTube - Как вывернуть сферу наизнанку? (1/2) (http://www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE)

YouTube - Как вывернуть сферу наизнанку? (2/2) (http://www.youtube.com/watch?v=eyNhhRCCMiI)

Smetanin
27.04.2010, 21:47
Мозги тоже наизнанку выворачиваются :)

Smetanin
28.04.2010, 11:09
СЛАУ - а это как-то связано с доказательством Перельмана?

СЛАУ
28.04.2010, 12:00
СЛАУ - а это как-то связано с доказательством Перельмана?Я не знаю, это же всё очень сложные вещи, тем более для меня.

Smetanin
28.04.2010, 19:29
СКОПИРОВАЛА ЗАДАЧКУ СМЕТАНИНА И ОТВЕТ НА НЕЁ ЫЧЕВА ИЗ ТЕМЫ СМЕТАНИНА, ЧТОБЫ НЕ ПОСТИТЬ ЭТУ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ШУТКУ ПО-НОВОЙ. - СЛАУ.

Следующая задачка с научным юмором ;)

Цитата: "Это грустная история о прекрасной восточной девушке Наноль, которая любит двоих прекрасных и мужественных юношей и не может выбрать. Юноши тоже любят ее. Казалось бы, в нынешние свободные времена, зажить бы им втроем простой и дружной семьей. Но трагедия в том, что...". Закончите эту цитату тремя словами.

ycheff
28.04.2010, 19:44
Наноль делить низзя:D

СЛАУ
02.05.2010, 14:56
...Что касается доказательства Перельмана, я иногда думаю: не надо (мне) славы. Не надо гениальности, позволяющей делать великие открытия, озарений и вдохновений. (Ну, как не надо...:) Поскольку нет этого, то и ладно, можно обойтись, было бы - может быть, не отказалась бы.)
А вот просто... говорят, доказательство Перельмана сложное... так вот, просто знать достаточно, чтобы понять его, а ещё, собственно, прочитать его и понять. Только для себя, в тишине своей маленькой комнаты. И всё. Можно спокойно умереть... Хотя зачем в этом случае умирать? Наоборот, взяться за чтение-изучение чего-нибудь ещё, тоже большого и интересного. Мне много не надо.

М-да, мне совсем немного надо)).
Ещё в добавок к рассказанному бессмертия и чтобы ничто не отвлекало от изучения того, что мне интересно - и всё.

Smetanin
12.05.2010, 09:35
СЛАУ! А у тебя на аватарке озоновая дыра? http://www.razgovorium.ru/avatars/50.gif

СЛАУ
12.05.2010, 11:14
СЛАУ! А у тебя на аватарке озоновая дыра?Судя по всему - да. Но это без подтекстов, просто случайно встреченная в Инете картинка очаровала переливами оттенков синего и зелёного цветов. Ну и шар - одно из любимейших моих геометрических тел.
То есть, в сущности, чисто от балды поставила.

Smetanin
12.05.2010, 11:25
шар - одно из любимейших моих геометрических тел.
Огласите, пожалуйста, весь список.. :)

СЛАУ
12.05.2010, 17:39
Огласите, пожалуйста, весь список.. :)Я отвечу и про геометрические тела, и про поверхности, потому что, в сущности, трудно провести грань: нравится мне поверхность или тело, ограниченное ею (и, может быть, ещё несколькими поверхностями). Список меняется со временем. Сейчас это
1. Многогранники: правильные, полуправильные, звёздчатые и прочие, почти что все известные мне.
2. Такие поверхности, у каждой из которых есть точка со следующим свойством: если движешься по любой гладкой кривой, проходящей по этой поверхности через эту точку, то поверхность кажется непрерывной (или гладкой), а на самом-то деле в целом эта поверхность в этой точке разрывна (или не является гладкой). Я когда-то сделала модель такой поверхности из натянутых внутри разрезанной пластиковой бутылки ниток.

Smetanin
12.05.2010, 17:59
Такие поверхности
Хотелось бы примеров и картинок :-[

СЛАУ
12.05.2010, 22:35
Хотелось бы примеров и картинок :-[Мдя, я, конечно, описала... Ну, не знаю-не помню я правильных слов для описания ситуации. Но примеры и картинки будут всё равно. Возьми листок бумаги и нарисуй на нём график функции y=sin x, 0<x<4"Пи". Потом вырежь такую фигуру, ограниченную этим графиком и прямолинейными отрезками:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=484&stc=1&d=1356774498

Потом склей эту фигуру в цилиндр (отчёркнутая часть фигуры - клапан для склейки). Поставь этот цилиндр ровным краем на стол перед собой, верхний край будет волнообразный. Представь себе, что имеется декартова система координат: оси Ох и Оу лежат в плоскости стола, ось Оz перпендикулярна ему, примерно так:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=485&stc=1&d=1356774565

(только на фотографии не стол, а диван). Потом мысленно соедени отрезками точки волнообразного края, проекции которых на плоскость хОу являются диаметрально противоположными. Все такие отрезки образуют поверхность. Мне в ней нравится следующее. Её можно задать функцией z=f(x, y), не всю, а только исключая точки, лежащие на оси Оz. Ну и так вот. Какой бы отрезок ОТР, проходящий через начало координат в плоскости хОу, мы ни взяли, функцию z=f(x, y) можно доопределить в точке (0; 0) так, что она будет непрерывной на этом отрезке. Но, очевидно, эту функцию нельзя доопределить в точке (0; 0) так, чтобы она была непрерывной в целом. Это понятно из того, что, подходя к точке (0; 0) вдоль разных отрезков, мы будем получать в пределе разные значения z.

По-другому: если мы будем ехать по этой поверхности по любому отрезку, пересекающему ось Оz, то в точке на оси Оz мы не заметим ничего особенного, максимум тряхнёт на миг, если на оси Оz поверхность неудачно определена или не определена вовсе. То есть будет иметься вроде как известная из матана устранимая точка разрыва:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=486&stc=1&d=1356774624

которую мы и можем устранить, удачно доопределив или переопределив точку поверхности, лежащую на оси Оz. А в целом удачно доопределить или переопределить точку поверхности на оси Оz нельзя: в любом случае будет разрыв.

Если взять кусок синусоиды, заданный на отрезке длины не 4"Пи", а 6"Пи", то аналогично построенная поверхность будет задаваться аналогичной функцией, непрерывной в точке (0; 0), но с гладкостью будет та же "проблема", что в предыдущем случае была с разрывностью: в целом функция в точке (0; 0) не будет гладкой, а на любом проходящем в плоскости хОу через начало координат отрезке будет гладкой.

/*С надеждой*/ Понятно?

Признаться, я не помню не только, в связи с какой темой рассматриваются данные поверхности, но даже и в рамках какого раздела математики. Просто я помню эти поверхности и они мне нравятся - и всё.

Добавлено через 1 час 10 минут
Сметанин, моя мама недавно задала мне вопрос, который я чуть раньше задала себе: а зачем ему (тебе) - про поверхности?

Smetanin
12.05.2010, 22:39
Сметанин, моя мама недавно задала мне вопрос, который я чуть раньше задала себе: а зачем ему (тебе) - про поверхности?


Один психолог, психиатр и невролог очень интересно все эти предпочтения трактует ;)

СЛАУ
12.05.2010, 22:42
Один психолог, психиатр и невролог очень интересно все эти предпочтения трактует ;)Я никогда не верила в его трактовки и идеи вообще.

Smetanin
12.05.2010, 22:52
Я никогда не верила в его трактовки и идеи вообще.
Говорят, он правильно выдает результаты даже про тех, кто в это не верит :)

Добавлено через 1 минуту
А поверхность действительно интересная, я всё пытаюсь какую-то аналогию ей придумать ;)

СЛАУ
12.05.2010, 23:20
Какой кошмар... по теории этого психолога, психиатра и невролога математики должны быть самыми развращёнными людьми на свете. Чего они только не делают в вображении с числами, поверхностями, фигурами и прочим. Им даже мало для этого трёхмерного пространства, они четырёх- и более мерное пытаются всеми средствами себе вообразить...

Но на самом деле всё это (извини) абсолютная ерунда.

А поверхность действительно интересная/*Обрадовавшись*/ Ты правда разобрался в том, что я написала?

Smetanin
12.05.2010, 23:24
Ты правда разобрался в том, что я написала?
Конечно - это как детская карусель - лошадка на жердочке привязана к центру и эта жердочка при движении едет то вверх, то вниз симметрично с обоих сторон и всегда параллельно земле. Еще это напоминает спираль ДНК, но короткую и симметричную относительно вертикальной оси. Еще это похоже на винтовую лестницу, которая сначала идет вверх, а потом вниз и возвращается в исходное состояние.

А про многомерные пространства это ты круто завернула :up:, камасутра отдыхает :D

СЛАУ
12.05.2010, 23:44
Конечно - это как детская карусель - лошадка на жердочке привязана к центру и эта жердочка при движении едет то вверх, то вниз симметрично с обоих сторон и всегда параллельно земле. Еще это напоминает спираль ДНК, но короткую и симметричную относительно вертикальной оси. Еще это похоже на винтовую лестницу, которая сначала идет вверх, а потом вниз и возвращается в исходное состояние.
Про лошадку - это славно. А спираль ДНК и винтовая лестница - это, скорее, геликоид, немного другая история.

А то, что у меня была опечатка, и для второй поверхности на самом деле нужно брать кусок синусоиды, заданный на отрезке длиной не 3"Пи", а 6"Пи", ты тоже понял?

Smetanin
12.05.2010, 23:52
А то, что у меня была опечатка, и для второй поверхности на самом деле нужно брать кусок синусоиды, заданный на отрезке длиной не 3"Пи", а 6"Пи", ты тоже понял?
Ты уж сама определись, 2, 3 или 4 . Главное - чтобы стыковалась гладко :)

0<x<4"Пи".
не 2"Пи", а 6"Пи",

Vicont
13.05.2010, 00:37
Дети мои, объясните мне по-простому, о чем ведете вы разговор сей?

СЛАУ
13.05.2010, 00:39
Дети мои, объясните мне по-простому, о чем ведете вы разговор сей?А не понятно?

Vicont
13.05.2010, 00:41
А не понятно?
Это еще мягко сказано. :dont:

Smetanin
13.05.2010, 00:47
Дети мои, объясните мне по-простому, о чем ведете вы разговор сей?

Штангист крутиться вприсядку - гриф штанги рисует энту поверхность :)

СЛАУ
13.05.2010, 00:47
Это еще мягко сказано. :dont:Странно.
У меня создалось впечатление, что треплемся о поверхностях, которые я описала (как могла), и идеях Фрейда.

Vicont
13.05.2010, 00:52
Штангист крутиться вприсядку - гриф штанги рисует энту поверхность :)
Сын мой, и о чем это нам должно поведать? :o

Добавлено через 2 минуты

У меня создалось впечатление, что треплемся о поверхностях, которые я описала (как могла), и идеях Фрейда.
Дочь моя, а сии тонкие материи возможно постичь простым смертным?:)

Smetanin
13.05.2010, 00:53
Сын мой, и о чем это нам должно поведать?
Так СЛАУ представляет себе любовь :-[

СЛАУ
13.05.2010, 00:56
Сын мой, и о чем это нам должно поведать? :o

Добавлено через 2 минуты

Дочь моя, а сии тонкие материи возможно постичь простым смертным?:)Ну, я так не играю. Меня спросили, какие геометрические тела мне нравятся, я и рассказала. Правда, не только про тела, но и про поверхности. Почему - тоже сказала.

Vicont
13.05.2010, 00:58
Так СЛАУ представляет себе любовь :-[
:o:o:o
Сын мой, о какой любви ведешь ты речь? О любви к богу? К плотским утехам?

Smetanin
13.05.2010, 01:01
Сын мой, о какой любви ведешь ты речь? О любви к богу? К плотским утехам?
Самоудовлетворение мозга :)

Vicont
13.05.2010, 01:10
Ну, я так не играю. Меня спросили, какие геометрические тела мне нравятся, я и рассказала. Правда, не только про тела, но и про поверхности.
Дочь моя, порой излишняя открытость (http://mysha.kiev.ua/mysha/smiles/sm531.gif) в разговоре с незнакомцем может сослужить дурную службу. Тем более, в разговоре с таким загорелым незнакомцем, как Сметанин. :tss:

Добавлено через 5 минут
Самоудовлетворение мозга :)
А не задумывался ли ты, сын мой, является ли самоудовлетворение мозга путем, ведущим к истине (во Христе)? Или путь этот от лукавого?

Smetanin
13.05.2010, 01:18
ведущим к истине (во Христе)?
Я про штангиста говорил, а не про гимнаста ;)

Абука
13.05.2010, 01:19
Я про штангиста говорил, а не про гимнаста ;)а если штангист лукавый? :D

Vicont
13.05.2010, 01:21
Я про штангиста говорил, а не про гимнаста ;)
Сын мой, а может ли один существовать без другого?:D

Абука
13.05.2010, 01:23
Сын мой, а может ли один существовать без другого?:D
они триедины (то бишь заодно при соображении на троих) с клоуном :-[

Smetanin
13.05.2010, 01:24
Сын мой, а может ли один существовать без другого?
С Гимнастом любой штангист всегда не одинок, ибо верит в его тройственный пьедестал.

Vicont
13.05.2010, 01:28
они триедины (то бишь заодно при соображении на троих) с клоуном :-[
Дочь моя, я вижу душа твоя стремится к постижению горних истин. Позволь узнать мне, как давно (в)ступила ты на путь этот?

Добавлено через 1 минуту
С Гимнастом любой штангист всегда не одинок, ибо верит в его тройственный пьедестал.
Сын мой, об этой глубокой истине вы со СЛАУ хотели поведать нам всем?

СЛАУ
13.05.2010, 01:34
Вы такие смешные...

Абука
13.05.2010, 01:35
Дочь моя, я вижу душа твоя стремится к постижению горних истин. Позволь узнать мне, как давно (в)ступила ты на путь этот?
ой, я опять во что-то вступила? Темно, не видно...


Сын мой, об этой глубокой истине вы со СЛАУ хотели поведать нам всем?Ну так у них же любовь, групповая-цирковая-акробатическая :D

Vicont
13.05.2010, 01:44
Вы такие смешные...
Дочь моя, душеспасительные беседы никак не могут быть смешными. На пути к истине опасно предаваться неумеренному смеху и уж тем более возбуждать его в других. :uchis:

Добавлено через 2 минуты
ой, я опять во что-то вступила? Темно, не видно...
Истина, дочь моя, должна была осветить путь твой... Не осветила?

Добавлено через 2 минуты

Ну так у них же любовь, групповая-цирковая-акробатическая :D
Блуд это. Как есть блуд. Не только тело, но и душу оскверняющий.

Абука
13.05.2010, 01:54
Истина, дочь моя, должна была осветить путь твой... Не осветила?

Да засветила, не в бровь, понимаешь, а в глаз :D вот тогда-то я, наверное, и вступила во что-то...

Vicont
13.05.2010, 01:56
Да засветила, не в бровь, понимаешь, а в глаз :D вот тогда-то я, наверное, и вступила во что-то...
:up::up::up:
:lol::lol::lol:

Smetanin
13.05.2010, 02:12
Блуд это. Как есть блуд. Не только тело, но и душу оскверняющий.
Тьфу-тьфу - сходил в душ и клавиатуру протер на всякий случай :hehe:

Vicont
13.05.2010, 02:17
Тьфу-тьфу - сходил в душ и клавиатуру протер на всякий случай :hehe:
Чем протираешь, сын мой? Будь осторожен с китайскими подделками святой воды. От неё дурно веет и всё ржавеет.

Абука
13.05.2010, 02:17
Тьфу-тьфу - сходил в душ и клавиатуру протер на всякий случай :hehe:
надо ещё на монитор трижды поплевать да системный блок святой водой полить ;) :D

Vicont
13.05.2010, 02:18
святой водой полить ;) :D
Сначала из неё лучше выпустить газ.

Smetanin
13.05.2010, 02:22
Я использую жидкость для снятия блуда и спрей-антиосквернитель :)

Vicont
13.05.2010, 02:23
Я использую жидкость для снятия блуда и спрей-антиосквернитель :)
Где брал, сын мой? (мне для храма)

Smetanin
13.05.2010, 02:24
Где брал? (мне для храма)
Может тебе от храпа? :D или для хлама?

СЛАУ
14.05.2010, 15:14
Под занавес обсуждения, вот она (откопала я в своих завалах), модель поверхности, образуемая нитками, натянутыми внутри обрезка пластиковой бутылки (наверное, из-под "Фанты"):

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=487&stc=1&d=1356775194

Добавлено через 2 минуты
Саму поверхность на фотографии плохо видно, но не суть.

Добавлено через 4 минуты
Действительно похожа на причудливую вариацию на тему винтовой лестницы.

Добавлено через 13 минут
Формула, аналитически задающая функцию, графиком которой является эта поверхность, оказывается, очень легко получается из моего первого описания поверхности: z=2xy/(x2+y2), я только что на обрывке бумаги получила. Так приятно вспомнить всё это.

Добавлено через 1 час 37 минут
Сделала новую фотографию, со светлым фоном, и заменила в сообщении старую фотографию на новую. Вроде теперь лучше видна поверхность.

Smetanin
14.05.2010, 15:25
аналитическая формула, задающая функцию, графиком которой является эта поверхность, оказывается, очень легко получается из моего первого описания поверхности: z=2*xy/(x2+y2), я только что на обрывке бумаги получила. Так приятно вспомнить всё это.


Пора тему на манжеты переносить, а поверхность в специальной программе посчитать и визуализировать.

Действительно, похожа на причудливую вариацию на тему винтовой лестницы.
Да, в стиле Эшера ;)

СЛАУ
15.05.2010, 10:37
Пора тему на манжеты переносить...
Я подозреваю, что ты имел в виду совсем другое, но мне бы хотелось видеть всё обсуждение, начиная с твоего вопроса (http://www.razgovorium.ru/razdel49/tema214-stranica5.html#post13241) "СЛАУ, у тебя на аватарке озоновая дыра?" в теме "Записки на манжетах". Можно будет перенести?

Smetanin
15.05.2010, 10:53
в теме "Записки на манжетах".
Так и я об этом. Я даже MathCad установил - попробую там поверхность построить.

СЛАУ
15.05.2010, 11:37
Так и я об этом. Я даже MathCad установил - попробую там поверхность построить.Нет, ты, возможно, говоришь только о том, чтобы ПРОДОЛЖИТЬ разговор в "Манжетах", а я говорю о том, чтобы перенести и УЖЕ СУЩЕСТВУЮЩИЕ посты из этой темы в "Манжеты". Вы (модераторы-администраторы) можете быть против, потому что корявые и несерьёзные посты у меня в начале обсуждения - для такого солидного подфорума, как "Математика и физика". А я на это приготовилась возражать, что "Записки на манжетах" никогда и не были серьёзной темой и так далее.

Насчёт маткада - у меня тихие завидки. Тихие - потому что намерения установить эту программу на свой компьютр и освоить её нет. Вот я слышала, что в эксель можно строить графики функций. Открыла этот эксель. Моментом раньше не знала о нём ничего - теперь знаю, что, если его открыть, то можно увидеть большую красивую таблицу, пока - всё)))))

Smetanin
15.05.2010, 12:54
Не удается тебе угадать мои мысли :D - я хотел именно ПЕРЕНЕСТИ, но я в тех разделах не являюсь модератором :hello:

СЛАУ
15.05.2010, 14:12
Не удается тебе угадать мои мысли :D - я хотел именно ПЕРЕНЕСТИ, но я в тех разделах не являюсь модератором :hello:Ну, прекрасно, что наши желания, оказывается, совершенно не расходились. В разделах "Курилка" и "Математика и физика" вообще нет ни одного ОБЩЕГО модератора, так что переносить может, наверное, только администратор.
Изображение поверхности на втором рисунке мне очень нравится. Ещё бы как-то заставить программу закрасить чёрным белый мысик внизу, ведь чёрные части поверхности внизу, по идее, не должны расходиться в стороны, а должны плотно примыкать друг к другу.

Добавлено через 53 минуты
Хотя можно просто это исправление сделать потом какой-нибудь другой программой. Я для себя подправила в пойнте, теперь у меня перед глазами такое понятное хорошее изображение поверхности - прелесть.

СЛАУ
15.05.2010, 18:57
А первый рисунок хорошо распечатать на чёрно-белом принтере и раскрасить, становится видно и понятно, как проходит поверхность.

ДОБАВЛЕНО МНОГО ПОЗЖЕ:

А у меня получились вот такие изображения этой поверхности:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=604&stc=1&d=1357971704

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=605&stc=1&d=1357971744

Хорошо видны линии уровня прямолинейные отрезки - границы между участками разных цветов.

СЛАУ
13.06.2010, 13:04
В теме «Портрет Дориана Грея» обсуждалась поверхность f(x, y)=2xy/(x2 +y2).* Упомяну ещё одну не совсем обычную (в том же духе) поверхность. Это поверхность f(x, y)=x2y/(x4+y2). Её не совсем точный эскиз, сделанный в Маткаде, прилагается. Эскиз, разумеется, не совсем точен возле точки разрыва (0, 0). Для того, чтобы представить эту поверхность, нужно учесть, что на любой параболе у=kх2 функция равна константе (f(х, у)=конст), причём эта константа k/(1+k2).

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=606&stc=1&d=1357971934

Рассматриваемая функция f(x, y)=x2y/(x4+y2) стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x2, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.
Какую бы кривую, проходящую через начало координат, мы не взяли, данную функцию можно так доопределить в точке (0, 0), что функция будет непрерывной на этой кривой, но в целом эта функция в начале координат имеет точку разрыва, которую нельзя устранить.
Нового здесь, пожалуй, то, что в рассматривавшейся в другой теме поверхности мы приближались к точке разрыва по разным кривым (собственно, прямым, но не важно), имеющим РАЗНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ в (0, 0) (и получали разные пределы), а здесь мы приближаемся к точке разрыва по разным кривым (параболам), имеющим ОДНУ КАСАТЕЛЬНУЮ в точке (0, 0) и, тем не менее, опять получаем разные пределы.
Забавность обеих поверхностей в том, что если вырезать из каждой сколь угодно маленький кружочек с точкой разрыва посередине, оставшиеся поверхности будут совершенно приличными, они будут задаваться функциями, везде однозначно определёнными, непрерывными и гладкими и вообще милыми. Это только в точке разрыва исходные поверхности с ума сходят, хотя и, если вдуматься, ничуть не «изменяют себе», продолжают линию поведения, начатую в своей «хорошей» части.

________________________________
* На сегодня посты с этим обсуждением уже перенесены из темы "Портрет Дориана Грея" в эту тему, в тему "Мат. и физ. записки на манжетах".

Smetanin
13.06.2010, 13:34
Интересно на таких горках покататься

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=173&stc=1&d=1276418019

СЛАУ
15.06.2010, 10:09
Твой рисунок впечатляет, но на моём линии уровня-параболки лучше видны. :P

СЛАУ
16.06.2010, 20:05
Во первых, сил инерции не бывает - просто одна стенка вагона приближается к молекулам, а вторая удаляется.
Во вторых, Эйнштыйн доказал, что ускорение эквивалентно гравитации - тогда плотность у одной стенки и давление будут больше, чем у другой.И за что учителя физики, а теперь ещё и, оказывается, просто физики взъелись на несчастные силы инерции?:sad:) Ещё когда я училась в школе (и ни-че-го не понимала в физике... что, кстати, почти и не изменилось по сей день), наша учительница физики на уроке с большим нажимом говорила нам: "СИЛ ИНЕРЦИИ НЕТ! Когда будете делать чертёж для решения задачи и составлять уравнение, имейте в виду: НЕ ИЗОБРАЖАЙТЕ НИКАКИХ СИЛ ИНЕРЦИИ!" Поскольку до этого учительница НИ РАЗУ ничего не говорила о том, что такое силы инерции и как их изображать, эти слова приводили меня в священный трепет: я понимала, что не должна чего-то делать, но вот чего?:o Ну, ладно, теперь я имею представление о том, что такое силы инерции, потому что у меня дома есть "Курс общей физики" Савельева. Согласно этому курсу, о чудо, силы инерции всё-таки существуют. Они нужны для более простого решения таких задач, в которых удобнее рассматривать неинерциальные системы отсчёта. Эти силы называют фиктивными, то есть они не совсем настоящие, это не силы, с которыми одни тела действуют на другие, они обусловлены свойствами системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления (фраза бесстыдно спёрта, я бы так красиво не сформулировала).
В Википедии среди сил инерции выделяют простую силу инерции (она проявляется в вагоне, движущемся прямолинейно и равноускорено), центробежную силу и силу Кориолиса.
Как я уже говорила, силы инерции просто удобны, вот почему грех ими при необходимости не воспользоваться. Например, сила Кориолиса очень удобна для объяснения подмывания реками на Земле определённых берегов (правого в Северном полушарии и левого в Южном). Или для вычисления отклонения полёта снаряда после выстрела из орудия. В Википедии также говорится, что силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане и что сила Кориолиса ответственна за вращение циклонов и антициклонов.

СЛАУ
11.07.2010, 21:41
Здесь (http://www.razgovorium.ru/razdel44/tema756.html#post19230) я рассказала об одной опечатке. Эта опечатка навела меня когда-то на две мысли.
1. Исследовать, имеет ли предел последовательность {sin n}. В этом мне помог Метелёв Серёжа, оказалось, эта последовательность не имеет предела.
2. Исследовать на сходимость ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839, (3)

похожий на ряд (1), но более простой.

Мне уже удалось установить, что ряд (3) не является абсолютно сходящимся, то есть что ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=505&stc=1&d=1357948919 (4)

расходится. Вот доказательство. Для любого вещественного числа х

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=506&stc=1&d=1357949050, (5)

в чём легко убедиться, рассматривая точки х и х+1 на тригонометрической окружности. Значит, в частности, для любого натурального k либо

sin (2k-1) >= sin (1/2), (6)

либо

sin 2k >= sin (1/2). (7)

Рассмотрим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=507&stc=1&d=1357949118, (8)

где

d2k-1=1, d2k=0, (9)

если выполняется условие (6), и

d2k-1=0, d2k=1, (10)

если оно не выполняется. Тогда общий член ряда (8) не превосходит общего члена ряда (4). Значит, из расходимости ряда (8) должна следовать расходимость ряда (4). Осталось доказать расходимость ряда (8). Доказывать будем методом от противного. Пусть ряд (8) сходится. Распишем его подробнее:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=508&stc=1&d=1357949197.

Расставим скобки, объединив слагаемые ряда по два:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=509&stc=1&d=1357949247.

Получим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=510&stc=1&d=1357949319, (11)

Согласно сочетательному свойству сходящихся рядов, из сходимости ряда (8) следует сходимость ряда (11). Рассмотрим ещё один ряд:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=511&stc=1&d=1357949454. (12)

Он расходится и его общий член не превосходит общего члена ряда (11), значит, ряд (11) расходится. Мы пришли к противоречию, из которого следует расходимость ряда (8). А из этого в свою очередь, как уже оговаривалось выше, следует расходимость ряда (4), что и требовалось доказать.

Как доказать то, что ряд (3) сходится (условно) (если это вообще правда), я не знаю.

ЗАЧЕМ ВСЁ ЭТО ВООБЩЕ НУЖНО, Я НЕ ЗНАЮ ТЕМ БОЛЕЕ. ПРОСТО - КРАСИВО.

Здесь (http://www.razgovorium.ru/razdel44/tema756.html#post19230) я рассказала об одной опечатке. Эта опечатка навела меня когда-то на две мысли.
1. Исследовать, имеет ли предел последовательность {sin n}. В этом мне помог Метелёв Серёжа, оказалось, эта последовательность не имеет предела.
2. Исследовать на сходимость ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839, (3)

похожий на ряд (1), но более простой.

Мне уже удалось установить, что ряд (3) не является абсолютно сходящимся, то есть что ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=505&stc=1&d=1357948919 (4)

расходится. Вот доказательство. Для любого вещественного числа х

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=506&stc=1&d=1357949050, (5)

в чём легко убедиться, рассматривая точки х и х+1 на тригонометрической окружности. Значит, в частности, для любого натурального k либо

sin (2k-1) >= sin (1/2), (6)

либо

sin 2k >= sin (1/2). (7)

Рассмотрим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=507&stc=1&d=1357949118, (8)

где

d2k-1=1, d2k=0, (9)

если выполняется условие (6), и

d2k-1=0, d2k=1, (10)

если оно не выполняется. Тогда общий член ряда (8) не превосходит общего члена ряда (4). Значит, из расходимости ряда (8) должна следовать расходимость ряда (4). Осталось доказать расходимость ряда (8). Рассмотрим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=511&stc=1&d=1357949454. (11)

Он расходится и его общий член не превосходит общего члена ряда (8), значит, ряд (8) расходится, а следовательно, расходится и ряд (4), что и требовалось доказать.

Как доказать то, что ряд (3) сходится (условно) (если это вообще правда), я не знаю.

ЗАЧЕМ ВСЁ ЭТО ВООБЩЕ НУЖНО, Я НЕ ЗНАЮ ТЕМ БОЛЕЕ. ПРОСТО - КРАСИВО.

Здесь (http://www.razgovorium.ru/razdel44/tema756.html#post19230) я рассказала об одной опечатке. Эта опечатка навела меня когда-то на две мысли.
1. Исследовать, имеет ли предел последовательность {sin n}. В этом мне помог Метелёв Серёжа, оказалось, эта последовательность не имеет предела.
2. Исследовать на сходимость ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839, (3)

похожий на ряд (1), но более простой.

Мне уже удалось установить, что ряд (3) не является абсолютно сходящимся, то есть что ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=505&stc=1&d=1357948919 (4)

расходится. Вот доказательство. Для любого вещественного числа х

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=506&stc=1&d=1357949050, (5)

в чём легко убедиться, рассматривая точки х и х+1 на тригонометрической окружности. Значит, в частности, для любого натурального k либо

sin (2k-1) >= sin (1/2), (6)

либо

sin 2k >= sin (1/2). (7)

Рассмотрим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=507&stc=1&d=1357949118, (8)

где

d2k-1=1, d2k=0, (9)

если выполняется условие (6), и

d2k-1=0, d2k=1, (10)

если оно не выполняется. Тогда общий член ряда (8) не превосходит общего члена ряда (4). Значит, из расходимости ряда (8) должна следовать расходимость ряда (4). Осталось доказать расходимость ряда (8). Доказывать будем методом от противного. Пусть ряд (8) сходится. Тогда согласно сочетательному свойству сходящихся рядов сходится и ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=510&stc=1&d=1357949319, (11)

получающийся из ряда (8), если расставить скобки, объеденив слагаемые ряда (8) по два. Рассмотрим ещё один ряд:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=511&stc=1&d=1357949454. (12)

Он расходится и его общий член не превосходит общего члена ряда (11), значит, ряд (11) расходится. Мы пришли к противоречию, из которого следует расходимость ряда (8). А из этого в свою очередь, как уже оговаривалось выше, следует расходимость ряда (4), что и требовалось доказать.

Как доказать то, что ряд (3) сходится (условно) (если это вообще правда), я не знаю.

ЗАЧЕМ ВСЁ ЭТО ВООБЩЕ НУЖНО, Я НЕ ЗНАЮ ТЕМ БОЛЕЕ. ПРОСТО - КРАСИВО.

Smetanin
16.07.2010, 14:53
Переход от (8) к (11) не очевиден.
Как ты переходишь от n на k?
Даже если это верно, это не просто и не очевидно.

СЛАУ
16.07.2010, 16:44
Переход от (8) к (11) не очевиден.
Как ты переходишь от n на k?
Даже если это верно, это не просто и не очевидно.Да, там шероховатость. Пойду исправлю.

Добавлено через 55 минут
Исправила.

Smetanin
16.07.2010, 16:52
не превосходит общего члена ряда (11),
А какой общий член ряда (11)?

СЛАУ
16.07.2010, 16:59
А какой общий член ряда (11)?В силу формул (9) и (10) он равен либо первому, либо второму (как когда) слагаемому в скобочках формулы (11) без множителя "дэ с индексом".

Smetanin
16.07.2010, 17:01
Я не удовлетворен таким доказательством.

СЛАУ
16.07.2010, 17:08
Я не удовлетворен таким доказательством.Не понял...

Добавлено через 4 минуты
Ну, попробуй перечитать мой пост 80, я его правила, может, ты старый вариант прочитал.

Smetanin
16.07.2010, 17:47
Значит, в частности, для любого натурального k либо

sin (2k-1) >= sin (1/2), (6)

либо

sin 2k >= sin (1/2). (7)


Это не верно
sin1=0,841
sin2=0.909

Оба больше sin1/2 = 0.479

СЛАУ
16.07.2010, 19:04
Я отредактировала пост с доказательством, сделав подробнее объяснение того, что это за ряд - ряд (11).

Это не верно
sin1=0,841
sin2=0.909

Оба больше sin1/2 = 0.479
Не вижу, как твой пример опровергает моё утверждение, я же подразумевала дизъюнкцию в не исключающем смысле.

Smetanin
16.07.2010, 19:32
Он расходится и его общий член не превосходит общего члена ряда (11)

Это неверно
в ряде (11) при некотором k может быть ненулевым член с знаменателем (2к-1)
а 1/(2k-1) > 1/2k (например 1/3>1/4 при к=2)

Smetanin
16.07.2010, 19:34
СЛАУ - когда доказательство очевидное и простое, то у меня не возникает спотыканий через строчку :hello:

СЛАУ
16.07.2010, 20:06
Это неверно
в ряде (11) при некотором k может быть ненулевым член с знаменателем (2к-1)
а 1/(2k-1) > 1/2k (например 1/3>1/4 при к=2)Ну так твой пример и означает же, что я права. Извини, но ты глючишь. "Общий член ряда (12) не превосходит..." - это значит "общий член ряда (12) меньше или равен..." В твоём примере общий член ряда (12) меньше..., значит, всё верно.

СЛАУ - когда доказательство очевидное и простое, то у меня не возникает спотыканий через строчку :hello:Ты один, первый раз - был прав. А все твои последующие замечания ошибочны. Кроме одного - возможно, у меня нет стиля, умения излагать мысли просто и понятно. Но доказательство-то теперь правильное!

metelev_sv
19.07.2010, 00:49
Наткнулся на задачу де Мере, которую тот задал Паскалю, и задумался, как её решать. Задача из теории вероятностей, какова вероятность того, что 24 раза бросая 2 кости ни разу не получим комбинации 6-6. И оказалось неожиданно легко, хотя промежуточные размышления уводили куда-то далеко-далеко, решение оказалось очень компактным. Наверное и без меня все знают, но всё же напишу.


При однократном бросании двух костей есть 36 вариантов исходов. При двукратном и т.д. бросании общее количество вариантов растёт как степень 36. Это очевидно (по-моему), поскольку результаты бросков независимы и выбор исхода двух бросков можно представить себе, как выбор точки в квадрате со сторонами разбитыми на 36 равных частей; выбор исхода трёх бросков можно представить как выбор точки в кубе, каждое ребро которого разбито на 36 равных частей и т.д.

Итак, общее количество вариантов при N бросках составляет 36N

Теперь сосчитаем, сколько же будет вариантов, когда во всей серии из N бросков ни разу не выпала искомая комбинация 6-6. Здесь нужно слово-в-слово повторить рассуждения предыдущего абзаца, только количество вариантов каждый раз будет на единицу меньше, поскольку комбинацию 6-6 в каждом из бросков мы исключили новым условием.

Итак, количество вариантов, когда 6-6 не выпала ни разу за все N бросков составляет 35N

Делим одно на другое и получаем искомую формулу: (35/36)N вероятность того, что две шестёрки ни разу не выпадут при N бросках. Или так 1-(35/36)N за то, что шестёрки выпадут хотя бы раз. При N=24 получаем примерно 0.491 за то, что 6-6 выпадет хотя бы раз.

СЛАУ
22.07.2010, 17:06
I.

Наткнулся на задачу де Мере, которую тот задал Паскалю, и задумался, как её решать. Задача из теории вероятностей, какова вероятность того, что 24 раза бросая 2 кости ни разу не получим комбинации 6-6. И оказалось неожиданно легко, хотя промежуточные размышления уводили куда-то далеко-далеко, решение оказалось очень компактным. Наверное и без меня все знают, но всё же напишу.


При однократном бросании двух костей есть 36 вариантов исходов. При двукратном и т.д. бросании общее количество вариантов растёт как степень 36. Это очевидно (по-моему), поскольку результаты бросков независимы и выбор исхода двух бросков можно представить себе, как выбор точки в квадрате со сторонами разбитыми на 36 равных частей; выбор исхода трёх бросков можно представить как выбор точки в кубе, каждое ребро которого разбито на 36 равных частей и т.д.

Итак, общее количество вариантов при N бросках составляет 36N

Теперь сосчитаем, сколько же будет вариантов, когда во всей серии из N бросков ни разу не выпала искомая комбинация 6-6. Здесь нужно слово-в-слово повторить рассуждения предыдущего абзаца, только количество вариантов каждый раз будет на единицу меньше, поскольку комбинацию 6-6 в каждом из бросков мы исключили новым условием.

Итак, количество вариантов, когда 6-6 не выпала ни разу за все N бросков составляет 35N

Делим одно на другое и получаем искомую формулу: (35/36)N вероятность того, что две шестёрки ни разу не выпадут при N бросках. Или так 1-(35/36)N за то, что шестёрки выпадут хотя бы раз. При N=24 получаем примерно 0.491 за то, что 6-6 выпадет хотя бы раз.

Я не заглядывая в спойлеры решила. В наше время, конечно, задача уже не сложная. Но интересная
1. как историческая;
2. как задача, которую не "проздравомыслишь". То есть несмотря на несложное условие и простенькие числа в задаче, навскидку не скажешь, какова (хотя бы примерно) искомая вероятность. Нужно вычислять.

II.

Добавлено через 1 час 42 минуты
Улучшенное доказательство утверждения из поста за 11 июля.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=505&stc=1&d=1357948919 (1У)

расходится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО от противного. Пусть ряд (1У) сходится. Распишем его подробно:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=512&stc=1&d=1357950915. (2У)

Поставим скобки, объеденив слагаемые по два:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=513&stc=1&d=1357950969. (3У)

Получим ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=514&stc=1&d=1357951032. (4У)

Из сходимости ряда (1У) согласно ассоциативному свойству сходящихся рядов следует сходимость ряда (4У). В силу леммы 1, которая приведена и доказана ниже, общий член ряда (4У) не меньше общего члена ряда

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=511&stc=1&d=1357949454. (5У)

Значит, из сходимости ряда (4У) в силу признака сравнения ряд следует сходимость ряда (5У). Но это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Мы пришли к противоречию, из которого следует, что ряд (1У) расходится, ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.

Обещанная в доказательстве утверждения 1
ЛЕММА 1. Для любого натурального числа k

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=515&stc=1&d=1357951246. (1Л)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого вещественного числа х

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=506&stc=1&d=1357949050, (2Л)

в чём легко убедиться, рассматривая точки х и х+1 на тригонометрической окружности и их ординаты.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=516&stc=1&d=1357951379

А именно: если точка х лежит на дуге BC или на дуге DA (на рисунке они синие), где В (1/2), С ("Пи" - 1/2), D ("Пи"+1/2), А (-1/2), включая граничные точки, то очевидно

|sin x|>=1/2 (3Л)

и следовательно формула (2Л) верна. Если точка х лежит на зелёной дуге АВ (исключая граничные точки), то точка х+1 лежит на дуге ВЕ, где Е (3/2). Тогда

|sin(x+1)|>=1/2 (4Л)

и следовательно формула (2Л) опять верна. И, наконец, если точка х лежит на зелёной дуге CD (исключая граничные точки), то точка х+1 лежит на дуге DF, где F ("Пи"+3/2) и тогда опять выполняется неравенство (4Л), из которого следует неравенство (2Л). Мы рассмотрели все возможные положения точки х на тригонометрической окружности, значит, неравенство (2Л) доказано полностью.
Известно и очевидно, что для любых двух вещественных чисел у1 и у2

|y1|+|y2|>=max{|y1|; |y2|}, (5Л)

поэтому для любого вещественного числа х в силу (2Л)

|sin x|+|sin(x+1)|>=max{|sin x|; |sin(x+1)|}>=sin1/2, (6Л)

в частности, для любого натурального числа k

|sin(2k-1)|+|sin 2k|>=sin 1/2. (7Л)

Значит, дя любого натурального числа k

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=517&stc=1&d=1357951476, (8Л)

то есть по цепочке неравенств и равенства мы получаем неравенство (1Л), КОТОРОЕ И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.

III.

Добавлено через 1 час 20 минут
Пусть здесь будут:

YouTube - The NeoCube 01 (http://www.youtube.com/watch?v=gidumziw4JE)

- ролик о неокубе;

YouTube - NeoCube Ball Drop (http://www.youtube.com/watch?v=aYoT-JiA5G0&feature=related)

- как из неокуба сделать икосаэдр.

СЛАУ
24.07.2010, 21:33
Фрамбуа новой темой подбила покопаться в демотиваторах, но то, что мне понравилось, мне больше захотелось запостить сюда, чем в тему "Демотиваторы".

Вот:
улыбнуло:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=599&stc=1&d=1357971155

простейшая арифметика:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=600&stc=1&d=1357971215

формула в этом демотиваторе, пожалуй, слишком простая, но ладно, ради основной идеи запощу:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=601&stc=1&d=1357971267

а формулу из этого демотиватора (задающую поверхность) на досуге надо проверить:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=602&stc=1&d=1357971318

Добавлено через 18 минут
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=603&stc=1&d=1357971394

СЛАУ
30.07.2010, 19:30
Немного матанекдотов.

***
– А подскажите, меня мучает вопрос, если двусторонний скотч свернуть лентой Мёбиуса – он останется двусторонним?

***
– Я понял, почему люди в автобусе на меня косо смотрели! Та формула, что я написал на запотевшем стекле – была с ошибкой!

(Хи... Я знаю это по себе: на человека, пишущего на запотевшем стекле в автобусе формулу, окружающие правда смотрят ОЧЕНЬ странно))). Может, и у меня в тот раз была ошибка?)))

Абука
30.07.2010, 21:49
(Хи... Я знаю это по себе: на человека, пишущего на запотевшем стекле в автобусе формулу, окружающие правда смотрят ОЧЕНЬ странно))). Может, и у меня в тот раз была ошибка?)))

Нормально смотрят! Во всяком случае в нашем 38 "ковчеге" (автобус от одного корпуса универа до другого корпуса) никто ничему не удивляется. А вот косо смотрят, если ошибки, а ещё на гуманитариев косо смотрят :D причем они сами друг на друга :D :lol:

Добавлено через 7 минут
Ой, и куда это меня занесло?!!! :o

ycheff
30.07.2010, 22:20
Немного матанекдотов.

Экскурсовод ведет экскурсию по замку: - Помните формулы приведения в тригонометрии. Так вот - это привидение из нашего замка!...

СЛАУ
31.07.2010, 11:33
Демотиватор по физике:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=585&stc=1&d=1357968870

Добавлено через 10 минут
Невозможный объект:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=586&stc=1&d=1357968929

СЛАУ
31.07.2010, 15:09
На самом деле формула любви ОЧЕНЬ проста:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=587&stc=1&d=1357969031

1+1=бесконечность

Добавлено через 1 час 26 минут
"Тривиальный" демотиватор:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=588&stc=1&d=1357969070

))))))))

Smetanin
31.07.2010, 22:53
У меня есть подозрение, что ряд http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839 сходится.
Дело в том, что он ведет себя, приблизительно подобно ряду (-1)^n/n (минус единица в степени n деленная на n).

СЛАУ
01.08.2010, 15:51
У меня есть подозрение, что ряд http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839 сходится.
Дело в том, что он ведет себя, приблизительно подобно ряду (-1)^n/n (минус единица в степени n деленная на n).Спасибо за идею. Но я отчасти согласна с тобой, отчасти нет.

В чём согласна...
Возьмём ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=504&stc=1&d=1357948839 (1)

и расставим скобки. Скобки будем расставлять, собирая в них подряд друг за другом идущие слагаемые одного знака. То есть: с самого начала открываем скобку, первое слагаемое в скобках положительное, "проходим" все далее подряд друг за другом идущие положительные слагаемые и после последнего из них закрываем скобку. Перед следующим слагаемым, отрицательным, открываем скобку, "проходим" все далее подряд друг за другом идущие отрицательные слагаемые и после последнего из них закрываем скобки. И так далее:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=589&stc=1&d=1357969448. (2)

В одних скобках будет по 3 (чаще), в других по 4 (реже) слагаемых. Легко доказать, что исходный ряд (1) и ряд со скобками (2) либо оба сходятся, либо оба расходятся (сходятся или расходятся одновременно), и что если они сходятся, то имеют одну и ту же сумму. Ряд со скобками (2) действительно напоминает ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=590&stc=1&d=1357969547. (3)

Впрочем, тут начинается то, с чем я не согласна.

То, в чём я с тобой не согласна.
Ряд со скобками (2) напоминает скорее ряд

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=591&stc=1&d=1357969605, (4)

где аn – числа, довольно причудливо изменяющиеся в узких пределах от аmin до amax, amin – число, строго большее нуля и строго меньшее amax. А ряд (4) может быть и расходящимся; например, если все члены последовательности {an} с чётными номерами равны amin, а все члены этой же последовательности с нечётными номерами равны amax. Поэтому о сходимости рядов (1)-(2) судить рано. Мало ли что там может и чего не может быть, ведь ряд (2), по-моему, не будет лейбницевским: при больших n не будет выполняться монотонное убывание модуля члена ряда. Действительно, при больших n разница между знаменателями будет уже незначительной: условно говоря, для больших значений n невелика разница, стоит в знаменателе n или n+1, и "скачущая" разница между числителями начнёт ощущаться сильнее.

Добавлено через 34 минуты
*******************************************
*******************************************

На аватарку Сметанина с белым кубиком-рубиком

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=592&stc=1&d=1357969671

у демотиваторов есть свой ответ:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=593&stc=1&d=1357969719

Дважды два равно пяти:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=594&stc=1&d=1357969782

16-36=25-45
16-36+81/4=25-45+81/4
42-2*4*9/2+(9/2)2=52-2*5*9/2+(9/2)2
(4-9/2)2=(5-9/2)2
4-9/2=5-9/2
4=5
2*2=5

Ещё раз про 1+1:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=595&stc=1&d=1357969846

Подпись под картинкой: "Имея один маркер, можно раскрасить всё, кроме этого маркера. Имея два маркера, можно раскрасить вообще всё!" Сама картинка - яркая, цветная, фото двух фломастеров или маркеров, раскрашенных, на раскрашенном фоне.

Фотография невозможного объекта:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=596&stc=1&d=1357969917

Не знаю, фотошоп ли это. Я когда-то смотрела передачу об изобретателе, который изготавливал реальные трёхмерные "невозможные объекты". Суть дела была в том, что некоторые части "невозможного объекта" были кривыми, и только из одной точки пространства выглядели прямыми и "неправильными".

Ещё дем:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=597&stc=1&d=1357969970

Для небольшой умственной зарядки каждый день:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=598&stc=1&d=1357970011

Smetanin
01.08.2010, 19:47
скачущая" разница между числителями начнёт ощущаться сильнее.
Но в какую сторону будет накопление? В плюс или минус? И с какой стати в одну из сторон будет дисбаланс?

СЛАУ
16.08.2010, 17:13
Меня однажды спрашивали, какие геометрические тела - мои любимые. Мой ответ - в частности, полуправильные многогранники, особенно те, что получаются из платоновых тел отпиливанием углов. Поговорим чуть-чуть об этом.

Платоновы тела - выпуклые правильные многогранники - конечно, совершенны. Но, увы, их мало (5) и многие из них имеют слишком простую форму, не требующую напряжения воображения для того, чтобы их представить себе. К счастью, есть ещё полуправильные многогранники. Полуправильные многогранники бывают двух видов:
1. равноугольно полуправильные многогранники;
2. равногранно полуправильные многогранники.
Равноугольно полуправильные многогранники - это многогранники, у которых
1. все грани - правильные многоугольники, но нескольких (двух или более) видов;
2. все многранные углы равны друг другу.
О равноугольно полуправильных многогранниках в основном и пойдёт речь.
Такой многогранник можно получить, например, если «отпилить углы» у тетраэдра. На рис. 1 вы видите «тетраэдр ДО отпиливания углов», на рис. 2 – «ПОСЛЕ отпиливания углов».

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture152.jpg

Рис. 1

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture153.jpg

Рис. 2

Это уже усечённый тетраэдр. Его грани – правильные треугольники и правильные шестиугольники.

Аналогично можно получить равноугольно полуправильный многогранник из куба. На рис. 3 – куб, на рис. 4 – усечённый куб, куб с отпиленными углами. Его грани - правильные треугольники и правильные восьмиугольники.

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture154.jpg

Рис. 3

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture155.jpg

Рис. 4

То же с октаэдром. На рис. 5 – октаэдр, на рис. 6 – усечённый октаэдр, «октаэдр с отпиленными углами».

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture156.jpg

Рис. 5

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture157.jpg

Рис. 6

Из икосаэдра (рис. 7) «отпиливанием углов» получается усечённый икосаэдр (рис. 8), уже упоминавшийся «футбольный мяч».

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture158.jpg

Рис. 7

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture179.jpg

Рис. 8

И, наконец, то же с додекаэдром (рис. 9 и 10).

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture160.jpg

Рис. 9

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture161.jpg

Рис. 10

Кроме того, из куба «отпиливанием углов» можно получить ещё один полуправильный многогранник, он показан на рис. 11. Как видите, в данном случае «углы отпилили побольше». Этот же самый полуправильный многогранник можно получить и из октаэдра, тоже «отпилив углы побольше», чем в рассматривавшемся выше случае. Этот полуправильный многогранник называется кубооктаэдр.

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums19-picture162.jpg

Рис. 11

Вообще равноугольно полуправильных многогранников бесконечное количество, но кроме призм и антипризм всего лишь 14.

Smetanin
16.08.2010, 17:21
Поговорим чуть-чуть об этом.
Как на приеме у психолога :)

СЛАУ
16.08.2010, 17:39
Но в какую сторону будет накопление? В плюс или минус? И с какой стати в одну из сторон будет дисбаланс?Интуитивно-то - не с чего в какую-то из сторон возникать дисбалансу. А на языке строгих рассуждений даже не знаю с какой стороны подступить. Наверное, эта задача слишком сложна для меня. Хотя в принципе можно будет тихонечко-постепенно посмотреть для начала ряд

http://s58.radikal.ru/i162/1008/1f/0865ba7ed73e.jpg.

Он проще: в нём подряд идут не по 3-4 слагаемых одного знака, а от одного до двух.

Smetanin
16.08.2010, 18:05
Может как-то разложить в ряд...

eon
20.08.2010, 15:14
найти число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт соответственно остатки 2, 3 и 2.(с)

....Хочу жить :-[:)

СЛАУ
20.08.2010, 15:42
найти число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт соответственно остатки 2, 3 и 2.(с)

....Хочу жить :-[:)Любое число вида 105k+23, где k - целое число.
Раз уж не удержалась и пишу пост с решением этой мелкой задачки, воспользуюсь этим случаем, чтобы оповестить: я ничего больше не буду писать на РазговориУме, я ни о чём не буду общаться на РазговориУме. Всё кончено. Точка.

eon
20.08.2010, 18:37
я ничего больше не буду писать на РазговориУме, я ни о чём не буду общаться на РазговориУме. Всё кончено. Точка. :(

Smetanin
21.08.2010, 11:41
Всё кончено. Точка.
СЛАУ! Плохой день прошел, начался новый, хороший день :)
Возвращайся и твори! ;)

eon
21.08.2010, 22:25
Напишите формулировку - Китайской Теоремы об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin. :) :-[

СЛАУ
22.08.2010, 08:38
Напишите формулировку - Китайской Теоремы об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin. :) :-[В Википедии приводится формулировка Китайской Теоремы об Остатках
Если натуральные числа a1, a2,..., an попарно взаимно просты, то для любых целых r1, r2,..., rn таких, что 0=<ri<ai при всех i=1,2,...,n, найдётся число N, которое при делении на ai даёт остаток ri при всех i=1,2,...,n. Более того, если найдутся два таких числа N1 и N2, то N1=N2(mod a1*a2*...*an).
Очень интересная теорема, спасибо, Эон!!! Я не знала эту теорему.
З. Ы. Если эта формулировка не в том виде, что требовалось, то возиться-искать её в другом виде я не буду.

СЛАУ
26.08.2010, 13:48
Люди, будьте братьями по разуму, помогите, а? Я тут пыталась то одно, то другое почитать по квантовой механике. И везде особенно отчаянно не понимаю уранения Шрёдингера. А у меня бывает зацикл - что-то конкретное вдруг хочется понять любой ценой. Или самой убедиться, что мне это не по зубам. В общем, это тот случай.
Насоветуйте, пожалуйста, что, по-вашему, лучше всего прочитать-прорешать, чтобы понять-таки эти уравнения Шрёдингера. Скорее всего, нужна книга/книги, в которой всё объяснялось бы подробно-подробно, как для законченной идиотки. Заранее спасибо в любом случае, хоть пойму, хоть нет.

Smetanin
26.08.2010, 14:16
Для меня самое главное - это формы облаков электронов, которые получаются из этого уравнения.
http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km/image087.gif http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km/image088.gif

http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km24.htm

metelev_sv
26.08.2010, 15:23
Люди, будьте братьями по разуму, помогите, а? Я тут пыталась то одно, то другое почитать по квантовой механике. И везде особенно отчаянно не понимаю уранения Шрёдингера.

Есть ведь ещё подход Гейзенберга, с матрицами. Если говорить о существе дела, то надо честно признаться, я его не понимаю глубоко. Задача на собственные значения и собственные функции, да это понятно, понятно так же что такой способ решения задачи соответствует экспериментальным наблюдениям. Но откуда берётся именно такая постановка вопроса, почему Шредингер своё уравнение написал---наверное ответ надо искать в работах Гамильтона, для начала, затем самого Шредингера.

Есть ещё одна формулировка квантовой механики, Фейнмана. Первая работа появилась в Review on modern physics, кажется в 45-м году, есть ещё книжка и даже переведённая на русский, с соавтором, названия не помню и соавтора тоже :) Обобщение подхода Лагранжа, насколько я помню. Выводится, что в свободном случае должна получаться траектория с минимумом действия, но при этом должны учитываться все возможные, только они взаимно уничтожаются. А когда всякие там диффракции-интерференции, края, отверстия, щели, то не уничтожаются.

Вот. Думаю, что надо работы Гамильтона читать.

ycheff
26.08.2010, 20:12
Уравнение Шредингера является (если можно так выразиться) "энергетической формой волнового уравнения".
Обычно его рассматривают в приложении к атомам. Но волновая функция атома отвечает одновременно сразу 3 уравнениям: ур. Шрёдингера, уравнение для момента импульса и уравнение для проекции момента импульса. Мне кажется (подробно не углублялся в данный вопрос), что формы орбиталей сначала были получены именно из уравнений для момента импульса (это проще чисто математически).
При решении волнового уравнения, но не для электронов, а уже для фотонов в световоде также получаются так называемые "моды" - аналоги орбиталей электронов в атоме (но двумерные).
Хотел приаттачить небольшой файлик, он превысил пределы допустимого.

ycheff
26.08.2010, 22:50
что, по-вашему, лучше всего прочитать-прорешать, чтобы понять-таки эти уравнения Шрёдингера
Надо сначала понять, что было непонятно.
Вот, собственно, файлик про пресловутое уравнение:
Schrodinger.pdf.html (http://narod.ru/disk/24130878000/Schrodinger.pdf.html)
Если пробьет на решение уравнения для атома водорода, то тут еще один файлик:
http://forum.xumuk.ru/index.php?app=core&module=attach&section=attach&attach_id=3356

СЛАУ
29.08.2010, 21:22
Сметанин, Серёжа, Ычев, спасибо большое! Копаюсь потихоньку.

Вокруг стеклянного плафона под потолком обессиленно мотались три мухи - должно быть, первые мухи в этом году. Время от времени они вдруг принимались остервенело кидаться из стороны в сторону, и спросонок мне пришла в голову гениальная идея, что мухи, наверное, стараются выскачить из плоскости, через них проходящей, и я посочувствовал этому безнадёжному занятию.
Это А. и Б. Стругацкие.
А и Б сидели на трубе.
А это загадка о А. и Б. Стругацких.
Это я так просто.

СЛАУ
31.08.2010, 19:49
Задам маленькую задачку по старой сказке.

Некий крестьянин, назовём его за его поступки Простота, возвращался домой с базара с большой суммой денег и по дороге случайно встретился со своим соседом, человеком, между нами говоря, жуликоватым, назовём его Жуликом. Остановились они оба передохнуть под деревом, поговорили о том о сём. И тут у Простоты появилась идея свернуть с прежнего пути и сходить в другое село навестить кума. Жулик и говорит Простоте: "Что ж ты пойдёшь в такую даль с такими денжищами??? Отдай их мне на сохранение, я как раз иду домой; когда ты тоже домой вернёшься, я тебе твои деньги и верну". Простота доверился Жулику и отдал деньги. Через несколько дней, погостив у кума, Простота вернулся в родную деревню, зашёл в дом Жулика и спрашивает назад свои деньги. А Жулик: "Окстись, о чём ты, не было никаких денег!" Простота: "Что ты, друг! Третьего дня я тебе отдал такую сумму!" А Жулик: "Я и не видел-то тебя в тот день!"

Пошли к деревенскому старосте, чтобы он рассудил. Простота говорит, что возле дерева отдал деньги своему соседу на сохранение, и просит их вернуть. А Жулик своё: "Примерещилось всё моему соседу, не встречались мы в тот день". Староста спрашивает: "Какие у вас есть свидетели?" Простота отвечает: "Эх, какие же свидетели, одно только дерево рядом было". Староста: "Ну так сходи к этому дереву и попроси его придти на суд свидетельствовать". Простота: "Да что ж вы говорите, как дерево может придти, а тем более свидетельствовать!" Староста: "Ты знай иди, а не со мной разговаривай! Увидишь, что перед судом и деревья свидетельствуют!" Простота и пошёл к дереву, а староста и Жулик остались в деревне его ждать.

Прошло время... Что после этого было сказано/сделано такого, что помогло свершиться справедливому суду?

Smetanin
31.08.2010, 20:44
Нужно заставить Жулика сообщить что-то об этом дереве и он выдаст себя.
Например, Староста попросил бы Жулика пойти помочь Простоте принести дерево, а Жулик ответил бы, что дерево далеко и слишком тяжелое.

СЛАУ
31.08.2010, 21:12
Нужно заставить Жулика сообщить что-то об этом дереве и он выдаст себя.
Например, Староста попросил бы Жулика пойти помочь Простоте принести дерево, а Жулик ответил бы, что дерево далеко и слишком тяжелое.Правильно. По сказке, староста через полчаса после ухода Простоты спросил жулика: "Как ты думаешь, твой сосед уже дошёл до дерева?" - "Ну, нет, - ответил жулик, - до того дерева далеко; пожалуй, ещё не дошёл". Староста ничего не сказал на это. Спустя время Простота вернулся в деревню и пожаловался на непослушание дерева, которое и с места не сдвинулось, выслушав распоряжение суда. "Дерево уже свидетельствовало, - ответил староста. - И в твою пользу". И присудил, что жулик должен вернуть деньги Простоте.

Добавлено через 10 минут
Это была лёгкая задачка, да?

Smetanin
31.08.2010, 21:15
Это была лёгкая задачка, да?
А я только лёгкие умею решать :P:)

СЛАУ
31.08.2010, 22:00
Ещё задачка.

Три друга-путешественника остановились переночевать у одной старушки. Заодно попросили баньку им затопить. Но с ними были деньги, и друзья решили, пока они купаются, доверить деньги старушке. Друзья ей сказали: "Отдашь нам эти деньги только тогда, когда придём к тебе все втроём". Старушка согласилась, и друзья вместе зашли в баню. Но один из друзей был жуликом. Он сказал своим товарищам, что среди их вещей нет гребня и что он сходит к старушке, попросит у неё гребень. Сам же пришёл к старушке и сказал: "Друзья велели тебе передать, чтобы ты отдала мне деньги". - "Нет, - говорит старушка, - мы не так уславливались". - "А вот сама убедись, что это их просьба," - ответил жулик. Старушка подошла к бане, и друзья ей крикнули про гребень, не понимая истинной подоплёки дела: "Дай ему, старуха!"

Старушка отдала деньги жулику, и он скрылся. Спустя время два друга выходят из бани, удивлённые исчезновением третьего; учиняют старушке допрос, и всё проясняется. Ограбленные друзья тащат бедную старушку в суд и требуют с неё всех денег. Судья выслушал дело, и сказал старушке: "Делать нечего, твоя промашка, плати".

В горьких слезах вышла старушка из зала суда, и тут навстречу ей малыш, лет пяти. "Чего ты так убиваешься?" - спрашивает. Старушка рассказала ребёнку всю свою историю. "Э, - засмеялся мальчик. - Да разве это горе. Знаю я, как тебе помочь. Сейчас иди к судье и скажи..."

В чём состоял спасительный совет сообразительного малыша?

Smetanin
31.08.2010, 22:24
"отдам деньги, когда они придут за ними втроём - как и договаривались" :)

СЛАУ
31.08.2010, 22:30
"отдам деньги, когда они придут за ними втроём - как и договаривались" :)В точку.

СЛАУ
03.09.2010, 17:21
Официальный статус у меня сейчас "Мастер слова". Не отражает, но приятно. В "Разговориумных вопросах" я недавно задалась вопросом "А КАКОГО, собственно, ИМЕННО слова я мастер?" И сама себе ответила, придумав себе слово, мастером которого я являюсь.

По инерции придумались ещё слова такого же типа. Например, "синуградиан". Это слово состоит из слов "синус", "градус" и "радиан". Синуградиан - это такое число икс, что синус икса градусов равняется синусу икса радиан. Синуградианов бесконечно много, их легко найти. Кажется, они все, кроме нуля, - трансцендентные числа. Аналогично можно определить косинуградиан, тангенсоградиан и так далее.

СЛАУ
08.09.2010, 15:39
Детская задачка

На горизонтальной поверхности вертикально расположено кольцо нулевой массы. На него нанизана бусинка положительной массы, которая может без трения скользит по кольцу. Бусинку считаем точечной. Кольцо может без трения вращаться вокруг вертикальной оси (рис.) Пусть в начальный момент времени кольцо имеет положительную угловую скорость, бусинка находится в точке 1 и неподвижна относительно кольца. Может ли бусинка оказаться когда-нибудь в точке 2, если систему предоставить самой себе? Если нет, то почему? Если да, то как? (Точки 1 и 2 находятся на разных половинках кольца, мысленно разделённого вертикальной осью).

http://s15.radikal.ru/i188/1009/49/194c30ec1c20.jpg

Добавлено через 14 минут
Прошу прощения, погорячилась, задача, возможно, не детская.
Сама сижу думаю.

Добавлено через 23 минуты
Задача честное-пречестное слово детская, если в ней немного изменить вопрос:

На горизонтальной поверхности вертикально расположено кольцо нулевой массы. На него нанизана бусинка положительной массы, которая может без трения скользит по кольцу. Бусинку считаем точечной. Кольцо может без трения вращаться вокруг вертикальной оси (рис.) Пусть в начальный момент времени кольцо имеет положительную угловую скорость, бусинка находится в точке 1 и неподвижна относительно кольца. Может ли бусинка перейти из точки 1 в точку 2 ПО НИЖНЕЙ части кольца, если систему предоставить самой себе? Если нет, то почему? Если да, то как? (Точки 1 и 2 находятся на разных половинках кольца, мысленно разделённого вертикальной осью).

Smetanin
08.09.2010, 16:44
А бусинка разве пролезет по нижней части кольца? Там есть зазор?

СЛАУ
08.09.2010, 16:55
А бусинка разве пролезет по нижней части кольца? Там есть зазор?)))))))))))))))))))))
Я не подумала об этом. Чтобы не было этого препятствия, будем считать, что бусинка не нанизана на кольцо снаружи, а скользит внутри пОлового обруча (так же без трения).

Smetanin
08.09.2010, 17:15
Если всё без трения и предоставлено само себе - то ничего и не будет меняться - бусинка останется на том месте кольца, где находится при данной скорости вращения кольца

СЛАУ
08.09.2010, 20:24
Если всё без трения и предоставлено само себе - то ничего и не будет меняться - бусинка останется на том месте кольца, где находится при данной скорости вращения кольца
Не, там история сложнее. То есть да, бусинка останется на месте, но только при одном строго определённом соотношении между радиусом обруча r, начальной угловой скоростью вращения обруча «омега ноликовое», начальным углом отклонения вектора, направленного от центра обруча к бусинке, от вектора g «фи ноликовое» и ускорением свободного падения. А именно: бусинка останется на месте при условии

http://s56.radikal.ru/i151/1009/9a/3145caf97e6e.jpg.

При этом, понятно,

http://i064.radikal.ru/1009/bf/1ce2e6914d42.jpg

или

http://s006.radikal.ru/i214/1009/8b/f67b591c158f.jpg.

Если же это условие не выполняется, то бусинка может, например, поехать вверх до определённого угла «фи второе», меньшего «пи» (см. рис.), потом вниз до определённого угла «фи первое», большего нуля, потом вновь поехать вверх, и так и мотаться между углами «фи первое» и «фи второе», всё время оставаясь строго на одной половине обруча.

http://i056.radikal.ru/1009/5b/bc7a710f7d59.jpg

В любом случае при «фи ноликовом» больше нуля для обобщённой координаты бусинки «фи» будет выполняться условие

http://s004.radikal.ru/i205/1009/64/81a28e75cee0.jpg.

Это всё точно: просчитано при помощи уравнений Лагранжа и проверено. Так что ОТВЕТ: бусинке никогда не перейти из точки 1 в точку 2, потому что бусинке никогда не суждено дойти до самой нижней точки обруча и никогда не дойти до самой верхней точки обруча.

А вот про детскость задачи я, возможно, опять ошиблась :( Я тут подумала-подумала, и поняла, что мои простые рассуждения, объясняющие полученный сложными вычислениями результат, не верны.[/QUOTE]

Smetanin
08.09.2010, 23:46
Как бы медленно не крутилась карусель, пробраться в её центр очень трудно ;)
Самое интересное, что при отсутствии вращения бусинка легко перекачивается и катается туда-сюда, а самое незначительное вращение отбросит её от центра при попытке туда попасть...

СЛАУ
09.09.2010, 10:57
Как бы медленно не крутилась карусель, пробраться в её центр очень трудно ;)
Самое интересное, что при отсутствии вращения бусинка легко перекачивается и катается туда-сюда, а самое незначительное вращение отбросит её от центра при попытке туда попасть...Это смотря какое вращение. Если обруч будет вращаться с ПОСТОЯННОЙ скоростью, то бусинка будет также запросто перекатываться туда-сюда через самую нижнюю точку обруча, только помедленне, чем это бы происходило при неподвижном обруче. Если же скорость вращения обруча определяется движением системы (и обруч вращается без трения), то да, любая самая незначительная начальная угловая скорость вращения обруча делает самую нижнюю и самую верхнюю точки обруча недостижимыми для бусинки. А значит, для бусинки недостижимы и все точки одной из половинок обруча, на которые он делится осью вращения. Бусинка никогда не сможет "переехать" из своей страны половины в другую... это очень печальная история... :sad:

СЛАУ
09.09.2010, 19:50
Сметанин, я так благодарна тебе за то, что ты болтаешь со мной в этой теме, если бы ты знал.
Ты сказал про карусель, и я лучше поняла ситуацию с бусинкой в обруче. И ещё просчитала судьбу бусинки на одной примитивной карусели. И задалась одним естественно возникающим вопросом.

Правда, я эти дни столько возилась с бусинками, в таком количестве ситуаций их просчитала, что теперь видеть их (мысленно) не могу :fu:))

СЛАУ
18.09.2010, 13:08
Потрясающая глубиной мысль: производная периодической функции всегда периодическая функция, а первообразная периодической функции - не всегда периодическая функция)) Ладно, если у меня когда-нибудь наступит старческий маразм, то и таких мыслей не будет. А когда я умру - и подавно. Поэтому будем ценить и малое))

ycheff
18.09.2010, 15:04
первообразная периодической функции - не всегда периодическая функция
А пример есть для такой периодической функции?

СЛАУ
18.09.2010, 15:07
А пример есть для такой периодической функции?f(x)=sin x +1 - периодическая,
F(x)=cos x +x - не периодическая.

ycheff
18.09.2010, 15:23
Я не силен в математике, но мне кажется, что просто так нельзя перейти от f(x) к F(x) - в смысле на всей числовой оси, это условие справедливо лишь на интервале, равном периоду функции, а уже на следующем интервале, ситуация повторяется своей периодичностью. Может быть, я чтой-то путаю.

ycheff
18.09.2010, 18:09
f(x)=sin x +1 - периодическая,
Кажись, я понял. Константа не является периодической функцией, но, добавив ее к периодической, получим периодическую.
Просто я привык видеть периодические функции в форме произведения функции на отрезке (периоде), на comb-функцию, про которую я как-то загадывал загадку. Тогда удобно иметь дело с Фурье-преобразованием функции.

СЛАУ
18.09.2010, 20:23
Я не силен в математике, но мне кажется, что просто так нельзя перейти от f(x) к F(x) - в смысле на всей числовой оси, это условие справедливо лишь на интервале, равном периоду функции, а уже на следующем интервале, ситуация повторяется своей периодичностью. Может быть, я чтой-то путаю.Путаете.

Нет, если функция непрерывна на всей числовой оси, как рассматриваемая функция
f(x)=sin x +1,
то поиск её первообразной никак не связан с ограничениями интервалами, длины которых равны периоду. Вообще легче обдумывать вопросы, связанные с первообразными, рассматривая первообразные как интегралы с переменным верхним пределом:

http://s003.radikal.ru/i201/1009/fb/cf9fb43b63c6.jpg

Потому что это даёт наглядную картинку, ведь определённый интеграл связан с площадью криволинейной трапеции. Мысленно фиксируем а, и вперёд:

http://s44.radikal.ru/i104/1009/f7/cc8b674c1d2d.jpg

Из этого определения первообразной ясно, что первообразные нужно находить по отдельности на двух примыкающих друг к другу интервалах (на каждом выбирая и фиксируя свой нижний предел интегрирования а) только тогда, когда на границе интервалов функция терпит разрыв, причём точка разрыва там - второго рода (и то есть исключения).

Кажись, я понял. Константа не является периодической функцией, но, добавив ее к периодической, получим периодическую.
Просто я привык видеть периодические функции в форме произведения функции на отрезке (периоде), на comb-функцию, про которую я как-то загадывал загадку. Тогда удобно иметь дело с Фурье-преобразованием функции.
Константа - периодическая функция! Не совсем точно, упрощённо говоря, периодическая функция - это такая функция, что существует число Т>0, такое что
f(x-T)=f(x)=f(x+T).
Для константы это выполняется.

ycheff
19.09.2010, 08:32
существует число Т>0, такое
Не выполняется условие единственности такого числа. Может быть это условие и не обязательное - не уверен.

СЛАУ
19.09.2010, 10:42
Не выполняется условие единственности такого числа. Может быть это условие и не обязательное - не уверен.Безусловно, у любой периодической функции бесконечное количество периодов, поскольку, понятно, если Т - период, то и nT - тоже период. Наименьший положительный период называется основным периодом. Например, у функции y=sin x основной период 2 "Пи", а просто периодом являются и число 4 "Пи", и 10 "Пи". У константы нет основного периода. Но она-таки периодическая функция.

Периодическая функция — Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D 0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0 %BA%D1%86%D0%B8%D1%8F)

Smetanin
25.09.2010, 12:52
Меня давно интересовал вопрос, на который мы, надеюсь, вместе ответим. :)

Итак, всем чертежникам известен способ рисование эллипса из дуг окружностей.

Принцип простой - четыре смещенных центра в которые мы поочередно ставим иглу циркуля и чертим дуги.
Сначала две большие дуги.
http://www.architector.dp.ua/images/catalog/arts/file_ellips_write2.jpg

http://www.architector.dp.ua/images/catalog/arts/file_ellips_write3.jpg

Потом добавляем две маленькие. Выходит фигура очень похоже на эллипс.

http://www.architector.dp.ua/images/catalog/arts/file_ellips_write4.jpg

http://www.architector.dp.ua/images/catalog/arts/file_ellips_write8.jpg

Вопрос: как доказать, что в месте стыковки дуг нет излома?

Smetanin
25.09.2010, 14:45
Еще я нашел интересное понятие "золотой эллипс"
«Золотой» эллипс – гармоничное пространство, в котором геометрически и арифметически мерами «золотого сечения» (делятся, умножаются, вычитаются и складываются) многообразные формы бытия гармоничных структур разных масштабов.

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/010a/pic/0005/0005-5617.gif

СЛАУ
25.09.2010, 15:47
Меня давно интересовал вопрос, на который мы, надеюсь, вместе ответим. :)

Итак, всем чертежникам известен способ рисование эллипса из дуг окружностей.

Принцип простой - четыре смещенных центра в которые мы поочередно ставим иглу циркуля и чертим дуги.
Сначала две большие дуги.
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=612&stc=1&d=1358950933

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=613&stc=1&d=1358950978

Потом добавляем две маленькие. Выходит фигура очень похоже на эллипс.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=614&stc=1&d=1358951014

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=615&stc=1&d=1358951050

Вопрос: как доказать, что в месте стыковки дуг нет излома?
Я не знала (не помнила?) этого способа.

Но заданная задача очень лёгкая. Известно (ещё из школьного курса геометрии), что касательная к окружности, проходящая через некоторую точку А этой окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А. Отсутствие излома означает совпадение касательных. Отсюда понятно, что для гладкости стыковки дуг в точке А необходимо и достаточно, чтобы радиусы маленькой окружности (рис. 1) и большой окружности (рис. 2),

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=481&stc=1&d=1356441784

Рис. 1.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=482&stc=1&d=1356441838

Рис. 2.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=483&stc=1&d=1356441888

Рис. 3.

проведённые в точку А, лежали на одной прямой. А это, как легко получить при помощи понятия тангенс, равносильно тому, что a=b (рис. 3). При a=b гладкость стыковки будет иметь место. Иначе гладкости стыковки не будет.

СЛАУ
27.09.2010, 11:00
YouTube - Эксперименты с неньютоновской жидкостью (http://www.youtube.com/watch?v=sbCW2RydyLU&feature=fvw)

Smetanin
27.09.2010, 12:22
Большую часть ролика гадал - будут они на по этой жидкости бегать или нет.
А они даже станцевали! :up::up::up:

СЛАУ
27.09.2010, 13:42
Большую часть ролика гадал - будут они на по этой жидкости бегать или нет.
А они даже станцевали! :up::up::up:Из комментариев к этому ролику:
Я придумал новый вид пыток смертных. Ставишь здоровый котел и запускаешь человека танцевать. Пока танцует - живет, остановится - утонет=)

********************

YouTube - Фигуры Хладни. Влияние звука на песок (http://www.youtube.com/watch?v=M6F5T6rKga8&NR=1)

СЛАУ
27.09.2010, 19:22
Что касается узлов и точек пучностей, о которых говорится в этом ролике. Я в своё время по-настоящему поняла смысл этих понятий только после того, как нарисовала на бумаге "мировую поверхность" одной струны. Рассмотрим конечную струну длины "Пи" k с концами, закреплёнными в точках
x=0 и x="Пи" k
(k - некоторое натуральное число). При определённых характеристиках струны и начальных условиях колебания струны будут описываться уравнением
u(x, t)=(sin x)(sin t),
где t - время. Ну, понятно, что t больше или равно нуля, x меняется в пределах от 0 включительно до "Пи" k включительно. Эти и подобные очевидные ограничения впредь не будем оговаривать. Поверхность u=u(x, t) изображена на рисунке:

http://s002.radikal.ru/i198/1009/a3/ea49ae79c674.jpg

(он же на миниатюре внизу поста). Это поверхность, описываемая струной в мировом пространстве при колебаниях; это мировая поверхность струны. Из мировой поверхности для любого момента времени t=t0 можно получить форму струны в этот момент времени:
u(x, t0)=(sin x)(sin t0).
Узлы струны (неподвижные точки струны) имеют координаты x="Пи" n, где n - целые числа от 0 включительно до k включительно. Они описывают в мировом пространстве мировые линии - лучи, которые легко мысленно провести на мировой поверхности струны. Два из этих лучей - мировые линии, описываемые закреплёнными концами струны. Ещё один из этих лучей я показала на рисунке красной линией. Все эти лучи параллельны друг другу. Точки пучности струны (точки, в которых струна отклоняется максимально) - это точки с координатами x="Пи" i+"Пи"/2, где i - целые числа от 0 включительно до k-1 включительно. Они тоже описывют в мировом пространстве параллельные друг другу лучи.

Нашла на эту тему статью в Википедии с движущимся рисунком. Это статья "Стоячая волна". Мило, но мировая поверхность всё равно нагляднее.

СЛАУ
27.09.2010, 21:30
Просто красивые поверхности:

z=cos(xy)
(симметричная звезда):

http://img.sc/img/5479fa169c89528b38b812bd11f5bd94.jpg

z=sin(xy)
(антисимметричная звезда):

http://img.sc/img/940d40f68adbc89c6050aec0d33b7306.jpg

Очевидно, линии уровня обеих этих поверхностей - гиперболы xy=C, а сечения поверхностей плоскостями x=a, y=b - синусоиды-косинусоиды.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=583&stc=1&d=1357968538

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=584&stc=1&d=1357968585

СЛАУ
28.09.2010, 17:34
В математике, особенно в её преподавании, немалую роль играют мнемонические приёмы - приёмы запоминания отдельных моментов в определениях, формулах. Расскажу об одном из таких приёмов.

Все мы знаем, что синус и косинус - это отношения катетов к гипотенузам только в случае угла от 0 исключительно до 90 градусов исключительно. Определение же синуса и косинуса любого угла или числа (от минус до плюс бесконечности) даётся при помощи тригонометрической окружности. При этом синус - это ордината, а косинус - это абсцисса. Но как запомнить это соответствие и не перепутать, не подумать, что синус - это абсцисса, а косинус - ордината?
Я учу запоминать это так. Пишу на листочке бумаги первые три буквы слова "синус" - "СИН", потом на расстоянии от них первые две буквы слова "ордината" - "ОР". Потом ставлю между этими группами букв мягкий знак. Получается слово "СИНЬОР". И объясняю, что при помощи этого слова и надо вспоминать, что синус - это ордината. Ну и по остаточному принципу, что косинус - это абсцисса, больше ему нечем быть. Бывает, что ученик в 10-м классе ещё не знает, что такое абсцисса и ордината, по крайней мере, не помнит, "которое из них икс, а которое - игрек". Ну, тогда я убиваю двух зайцев сразу. Советую ученику дополнительно ещё ярко представить себе и запомнить, что синьОР - он такой гордый, держится очень прямо, вертикально, поэтому ось ординат - это вертикальная ось. Ну а ось абсцисс опять-таки запомнить по остаточному принципу.

Добавлено через 33 минуты
Приём со словом "синьор" придумала я сама. А вот мнемоническому приёму, помогающему не путать определения синуса и косинуса острого угла из курса геометрии, меня научила моя школьная учительница математики. "В символической записи синуса "sin", - говорила она, - средняя буква ("i") состоит из отдельных, не прилегающих друг к другу частей. Поэтому синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А в символической записи косинуса "cos" в средней букве ("о") такого нет, одна половинка буквы прилегает к другой. Поэтому косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе"".

СЛАУ
28.09.2010, 20:11
YouTube - Эксперименты с ферромагнитной жидкостью (http://www.youtube.com/watch?v=rZi4mLr5oOE&feature=related)

СЛАУ
29.09.2010, 11:02
Большую часть ролика гадал - будут они на по этой жидкости бегать или нет.
А они даже станцевали! :up::up::up:А это точно не обман? А то ведь того же зрительного эффекта можно достичь, положив по тонкий слой жидкости белый (крашеный) лист, металлический или деревянный. То есть, может, люди бегают по обычной твёрдой поверхности, а мы ушами хлопаем? Нет?

СЛАУ
02.10.2010, 21:25
Узнала, что
тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть рядом диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.
На странице Википедии "Тор (поверхность)" есть красивая анимация, показывающая это выворачивание.

Smetanin
02.10.2010, 23:27
есть красивая анимация, показывающая это выворачивание.
:up: Да, впечатляет!

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Inside-out_torus_%28animated%2C_small%29.gif

СЛАУ
03.10.2010, 13:25
Воображение сдаёт даже при просмотре анимации. Поэтому я сшила из прямоугольного куска трикотажа тор с дыркой, так, чтобы цепочки лицевых петель на трикотаже распологались по параллелям. Вывернула тор через отверстие наизнанку. В новом, получившемся торе цепочки лицевых петель на трикотаже располагались по меридианам. Теперь я верю написанному в Википедии про выворачивание тора наизнанку.

СЛАУ
16.02.2011, 17:53
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=581&stc=1&d=1357967924

СЛАУ
19.05.2012, 08:34
Параллельные швы пересекаются - доказано китайскими портными...

СЛАУ
03.07.2012, 09:24
*Продолжение этого:
http://www.razgovorium.ru/razdel50/tema741-stranica5.html#post35962
разговора*
О! Поняла ещё вот что. Значит, так. Представим себе, что есть окружность. По окружности равномерно движется точка. Одновременно сама окружность равномерно (но не обязательно с той же скоростью) вращается вокруг какого-либо своего диаметра. В таком случае упомянутая выше точка описывает забавную кривую, навроде нитки, наматываемой на клубок. Вот про такие кривые (в том числе) и заставила меня задуматься картинка Фрамбуа. Впрочем, у этих кривых оказались вполне простенькие легко получаемые параметрические уравнения. Вот, если нигде не ошиблась (но вроде не должна была, ведь и в Маткаде уже этими кривульками полюбовалась):

x=cos(at)*cos(bt),
y=cos(at)*sin(bt),
z=sin(at).

Если параметры а и b брать натуральными, то обсуждавшаяся кривая будет замкнутой, гладкой и конечной дины. При построении такой кривульки параметр t можно считать меняющимся в промежутке от нуля до двух пи (включая ноль и исключая два пи).
Вот какими получаются "нитки на клубках" при отношении a к b (угловой скорости вращения точки к угловой скорости вращения окружности) 3:1, 3:2, 3:4, 3:5 (сделано в Маткаде).

СЛАУ
03.07.2012, 12:00
Ещё: случаи отношения этих скоростей 3:1, 3:2, 3:4, 3:5, 3:7 вид сверху.

СЛАУ
03.07.2012, 14:08
Ещё: отношение скоростей 3:11, 11:3, 2:3 (последнее в двух видах, в том числе вид сверху).

СЛАУ
03.07.2012, 15:01
Все рассуждения этого поста - второй курс матфака максимум, конечно... Но кривая забавная, и ещё забавнее было то, как я вначале пыталась... но это долго объяснять, и не факт, что надо.
Пожалуй, теперь, когда у меня есть маткадовские рисунки, всё-таки объясню. Итак, я увидела эту кривую:
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=582&stc=1&d=1357968232
Подумала: "Это похоже на то, как нитку наматывают на клубок", "Это как винтовая линия, но накрученная не на цилиндр, а на сферу", "Это круто". Захотела понять лучше, что там с ниткой, наматываемой на клубок, какая она, эта кривая. СНАЧАЛА я попыталась получить эту кривую так. Я взяла шар и наклеила на него изоленту, изображающую как бы меридианы Земного шара. Потом я стала изолентами другого цвета изображать изгибы, искривления этих меридиан. При этом я изгибала ВСЕ МЕРИДИАНЫ ОДИНАКОВО*. То есть делала нечто вроде того, что изображено на первой миниатюре внизу поста. Мне потребовалось время, чтобы понять, что, изгибая ВСЕ МЕРИДИАНЫ ОДИНАКОВО, нельзя получить интересующую меня кривую, о которой я уже говорила, кривую, описанную в этом посте:

Итак, вопрос... Существует ли кривая, удовлетворяющая всем следующим свойствам одновременно:
1. она лежит на некоторой сфере S (вся, целиком);
2. она гладкая (во всех своих точках, то есть никаких изломов, ни-ни);
3. она обладает поворотной осью порядка n>2, проходящей через центр сферы S (обозначим эту ось l);
4. она проходит через обе точки пересечения сферы S с осью l
?

При этом самопересечения кривой допускаются.
Итак, изгибая все меридианы одинаково (но оставляя неизменными их начало и конец), такую кривую получить нельзя никоим образом. Но вообще её получить можно, чему масса примеров выше. Просто нужно, чтобы было как минимум ДВА разных семейства "изогнутых меридианов". Одно семейство - одинаковые между собой изогнутые в одну сторону, другое - одинаковые между собой изогнутые в другую сторону; допустимо, чтобы эти семейства были зеркальным отражением друг друга.

_____________
*Для намёка на строгость - "изогнутым меридианом" я называю кривую, полностью лежащую на сфере и с концами в "полюсах" (диаметрально противоположных точках) сферы. Одинаково изогнутыми меридианами и одинаковыми изогнутыми мередианами я называю "изогнутые меридианы", которые можно совместить поворотом вокруг прямой, проходящей через "полюса".

СЛАУ
03.07.2012, 15:03
Смотрю на миниатюры, запощённые выше. Зрительно, интуитивно всё равно КАЖЕТСЯ, что на последней чёрно-белой миниатюре - одна "сплошная" кривая, без изломов спирально опутывающая сферу. (Или что, по крайней мере, сделав число "изогнутых меридиан" больше, чтобы линии шли "гуще", можно получить такую кривую). Прямо обман зрения какой-то.

Кажется, всё с этим вопросом.

СЛАУ
04.07.2012, 00:16
Часы Пи.

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/440d1357706842-chasy-pi.jpg?stc=1

СЛАУ
04.07.2012, 03:46
Играла в Маткаде с параметрическими уравнениями для ниток на клубке и почти нечаянно сделала цветик-семицветик. Вот:

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/442d1357707006-cv-7-k-1-raskrashenyj-obrezannyj.jpg?stc=1

СЛАУ
04.07.2012, 03:50
...только форум чего-то сильно сплющил мою картинку и в результате стало не очень красиво.

СЛАУ
04.07.2012, 10:06
Подумалось: "Может ли гиперболический синус быть больше единицы? - ЛИХко. Он тем и отличается от синуса обычного (ограниченного сверху единицей), что он гиперболический, то есть всё гиперболизирует, гиперболизирует (преувеличивает). Он может быть равен и двум, и пяти, и сотне. - Тогда тангенс гиперболический правильно называть не гиперболическим, а литотным. В то время, как обычный тангенс стремится к бесконечности чуть не на каждом шагу, "гиперболический" тангенс жёстко ограничивает себя единицей сверху и минус единицей снизу".

СЛАУ
05.07.2012, 11:53
Увлекшись спиралями, вывела параметрические уранения ещё двух видов спиралей и построила и их в Маткаде. Это спираль на торе:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=570&stc=1&d=1357966913

Это ещё более хитропопая спираль:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=571&stc=1&d=1357966982

Идеи взяты с картины Эшера, вот этой:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=572&stc=1&d=1357967030

Короче, никакого открытия, но восторг у меня от всего этого - если б вы знали...

Добавлено через 18 минут
Ещё спираль на торе можно закрутить вот так:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=573&stc=1&d=1357967117

Добавлено через 52 минуты
Вот так будет ещё больше похоже на гравюру Эшера:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=574&stc=1&d=1357967185

Вот формулы:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=575&stc=1&d=1357967238

Добавлено через 17 минут
Правда, я в последних формулах, грубиянка такая, взяла число пи равным трём. :lol:

Добавлено через 1 час 4 минуты
Когда делала в Маткаде эти рисунки, то время от времени что-то меняла в формулах, параметрах. Когда менять нужно было много всего за раз, старалась во время редактирования не смотреть в прямоугольничек с графиками. Ведь когда сделаешь ТОЛЬКО ЧАСТЬ изменений, график становится немыслимым, безумным. Он уже не соответствует предыдущему замыслу и ещё не соответствует новому. Там всё - крик о том, что это какая-то неправильная последовательность параметров и формул. Я подумала: может, и наш мир тоже - вот такой вот крик. Бог играл в свои игры, придумал что-то новое и пошёл вносить изменения. А мир пошло перекашивать после каждого изменения. И вот после одного из таких изменений (но не после последнего) и возникла именно наша Вселенная.

Какая-то мрачная мысль. На самом деле, я не верю в такой вариант.

СЛАУ
05.07.2012, 19:11
Змея, пожирающая свой хвост (математически-абстрактная):

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=576&stc=1&d=1357967382

Венок Снегурочки (математически-абстрактный):

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=577&stc=1&d=1357967425

Формулы к венку Снегурочки:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=578&stc=1&d=1357967467

Опять спираль Эшера, только в этот раз четверная (выше была тройная):

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=579&stc=1&d=1357967512

Формулы к этой четверной спирали Эшера:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=580&stc=1&d=1357967548

(на этот раз пи взяла равным 3,14))

ycheff
06.07.2012, 12:03
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=576&stc=1&d=1357967382

- Большой Иерихонский Коллайдер

СЛАУ
06.07.2012, 14:15
Итак, Спирали Эшера, сделанные в Маткаде:

http://s.neepic.net/c2f02516a8cbaa8e201a92f8a2ac6fec

Формулы в Маткаде выглядят смешно, но поверьте, именно так оно и надо было, чтобы справиться с этой капризноватой программой:

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=609&stc=1&d=1358170134

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=569&stc=1&d=1357966688

СЛАУ
09.07.2012, 21:09
Представилась математическая задачка.

Допустим, есть КОНЕЧНОЕ количество качеств человека. К примеру, 40. Ну там красота, ум, такт, чувство юмора и тэ дэ, и тэ пэ. Допустим, есть некоторое количество форумчан (пусть 30) и про каждого форумчанина абсолютно точно известно, какими из 40-ка качеств он обладает, а какими нет. К примеру, форумчанин номер 1 обладает качествами 3, 7, 11-19, 36, 39, а остальными нет, а форумчанин номер 2 обладает только качеством 28 и тэ дэ. Допустим, каждому форумчанину нравятся какие-то определённые качества из 40-ка, но кому какие качества нравятся НЕИЗВЕСТНО. И какие НЕ нравятся, неизвестно. Полная это тайна - вкусы и предпочтения форумчан. Далее, допустим, что если какому-либо i-му форумчанину нравится какое-либо из качеств, присущих какому-либо j-му форумчанину, то i-й форумчанин немедленно стучится к j-му в друзья (а если некому i-му форумчанину не нравится ни одно из качеств, присущих некому j-му форумчанину, то i-й форумчанин НЕ стучится к j-му в друзья). Ещё допустим, что если некий форумчанин номер i стучится в друзья к некому форумчанину номер j, то форумчанин номер j непременно добавляет к себе в друзья форумчанина номер i, независимо от своих предпочтений (так на форумах чаще всего и бывает) и они становятся ВЗАИМНЫМИ ДРУЗЬЯМИ. Ещё допустим, что известно, кто с кем - взаимные друзья. НО НЕИЗВЕСТНО, кто к кому постучался в друзья, чья инициатива "дружбы".

ЗАДАЧА состоит в том, чтобы по известным данным определить вкусы форумчан - определить про каждого форумчанина, какие из 40-ка качеств ему нравятся, а какие нет.

Я ещё ни минуточки не анализировала эту задачу с бумагой и ручкой (она мне только что "в голову ударила" :-)), но мне кажется, что в ней есть смысл. Чисто в математическом смысле. :-)

ycheff
09.07.2012, 21:36
в ней есть смысл. Чисто в математическом смысле

Если бывает нечёткая логика, то эта задача из области, imho, чёткой нелогики.

СЛАУ
10.07.2012, 20:04
Если бывает нечёткая логика, то эта задача из области, imho, чёткой нелогики.Не знаю уж, наезд это или нет. И если наезд, то на логическую сторону задачи или на неправильное описание человеческих взаимоотношений в задаче. Сначала мне показалось, что точно наезд. А сейчас словосочетание "чёткая нелогика" начинает даже нравится.

Но вот маленький примерчик. Всё рассматривается в абстрактном мире, где есть только 3 человеческих качества (1, 2, 3) и выполняются правила, описанные в моём предыдущем посте. На форуме 4 форумчанина - Павел (П), Роза (Р), Толик (Т), Юра (Ю). Присущие им качества:

П 2, 3
Р 1, 2
Т 1, 3
Ю 1

Взаимно дружат: П с Р, П с Ю, Р с Т, Ю с Т. Остальные не дружат.

Это было то, что дано. Теперь то, что из этого можно получить. Из недружб сразу следует таблица свойств, которые форумчане не ценят:

П 1, 3
Р 1
Т 2, 3
Ю 1, 2

(П не дружит с Т, значит, не ценит ни одно его качество (ни 1, ни 3), ведь иначе, цени он хоть одно качество Т, он бы уже постучался к Т в друзья и был добавлен. И так далее).

Далее, П и Ю дружат, но П не мог быть инициатором дружбы с Ю, так как у Ю единственное качество - 1, а П не ценит качество 1. Значит, инициатором дружбы был Ю. У П качества 2, 3, но Ю не ценит качество 2. Значит, Ю ценит качество 3. Мы получили ценную инфу о вкусах Ю, которая не следует сразу, в один логический шаг, из данных.

Правда, больше никакую информацию о вкусах форумчан в этой ситуации получить невозможно.

ycheff
11.07.2012, 09:36
Не знаю уж, наезд это или нет. И если наезд, то на логическую сторону задачи или на неправильное описание человеческих взаимоотношений в задаче. Сначала мне показалось, что точно наезд. А сейчас словосочетание "чёткая нелогика" начинает даже нравится.

Получился наезд. Или типа того. Слово - не воробей, вырвалось. Потом подумал - "что это я, ведь я же добрый фей".
Но само описание задачи мне действительно не очень. Где-то в романе "Мария Стюарт" есть фраза "только поступки просты, мотивы же их бесконечно сложны". Да и в Библии тоже - о "делах их".
Так что мотивы описать - задача практически безнадежная.

СЛАУ
11.07.2012, 13:17
Получился наезд. Или типа того. Слово - не воробей, вырвалось. Потом подумал - "что это я, ведь я же добрый фей".
Но само описание задачи мне действительно не очень. Где-то в романе "Мария Стюарт" есть фраза "только поступки просты, мотивы же их бесконечно сложны". Да и в Библии тоже - о "делах их".
Так что мотивы описать - задача практически безнадежная.
Задачу сравнительно легко переформулировать на другом языке. Был сказочный мир, в нём жили духи. Их было 6 (здесь и дальше конкретные числа, конечно, для примера, их можно варьировать)... Итак, духов было 6: A,B,C,D,E,F. Ещё в этом мире было 4 вида магии: 1, 2, 3, 4. Каждый дух умел производить и производил какие-либо 2 вида магии из этих 4-х. Но "производил" - не обязательно значит, что с корыстной целью продажи. Это был, скажем для краткости, их вид самореализации. Ещё каждый дух нуждался в какой-либо одной магии из этих 4-х видов. Не знаю, потреблял там как человек пищу или использовал для производства своих магий, не важно. Например, дух A производил магии 1 и 3 и нуждался в магии 2. Запишем это коротко так:
A (1, 3), 2.
Далее, в тех же обозначениях:
B (2, 4), 1
C (1, 2), 3
D (2, 3), 4
E (1, 4), 1
F (2, 4), 3.
Это были добрые духи, но чертовски самодостаточные, в смысле - не стремящиеся к общению между собой. И общались они с теми и только с теми духами, от которых им нужна была какая-либо магия ЛИБО которым от них нужна была какая-либо магия (я же говорю, они были добрыми). Переговоры о доставке магии (время-пространство), то, сё.

В частности, дух A общался с духом D, потому что нуждался в магии 2, а дух D её производил. И ещё дух A общался с духом E, хотя ему совершенно не нужны были ни магия 1, ни магия 4, производимые духом E. Дух A общался с духом E ПОТОМУ, что духу E нужна была магия 1, производимая духом A. Ещё обращу внимание на то, что дух A общался СО ВСЕМИ духами, которые производили магию 2, а не с каким-то одним. Не знаю, почему. Может, на случай перебоев в производстве и поставке магии. Может, из-за вкусовых свойств магии (в самом широком смысле) - у одного духа магия получалась с одним вкусом, у другого духа магия того же самого вида получалась с другим вкусом - а духи, все 6, были гурманами, с одной стороны, и изготовителями вкуснейшей магии, с другой стороны.

Более того, даже если какой-либо дух, нуждающийся в какой-либо магии i, САМ производил эту магию i, он и тогда обязательно общался и со всеми другими духами, производящими магию i.

Нарисуем граф, изображающий взаимоотношения духов.
...
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ. (Я извиняюсь за явно незаконченную мысль, но не могу писать большими постами. Просто не могу).

СЛАУ
11.07.2012, 15:04
*Продолжение предыдущего поста*
Духов изобразим точками - вершинами графа (рис 1).

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/448d1356484544-duhi-i-magii-bez-r-ber-obrezannyj.jpg?stc=1

Рис. 1.

Неориентированными рёбрами покажем, какой дух с каким общается (рис. 2).

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/449d1356484544-duhi-i-magii-s-r-brami-i-potrebnostyami-obrezannye.jpg?stc=1

Рис. 2.

Построить эти рёбра легко. Смотрим: у духа A есть потребность в магии 2. А какие духи производят магию 2? Духи B, C, D, F. Значит, соединяем вершину A с вершинами B, C, D, F. Далее, смотрим: дух A производит магию 1 и магию 3. Какие духи нуждаются в этих магиях? Духи B, C, E, F. Значит, вершины B, C, E, F должны быть соеденены с вершиной A. Но вершины B, C, F УЖЕ соеденены с вершиной A, а любые 2 вершины в нашей задаче должны быть или не соеденены ребром, или соеденены только одним ребром, поэтому дорисовываем только ребро, соединяющее вершины A и E. Далее переходим к вершине B графа и повторяем все рассуждения. И так проходим по всем вершинам.

Далее СТИРАЕМ с рисунка числа, указывающие, какой дух в какой магии нуждается (рис. 3).

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/450d1356484544-duhi-i-magii-bez-potrebnostej-obrezannyj.jpg?stc=1

Рис. 3.

Задача: логическими рассуждениями восстановить эти числа. При этом можно использовать построенный граф и все данные задачи, кроме, разумеется, данных, какой дух в какой магии нуждается. Можно также использовать и тот факт, что каждый дух нуждается ровно в одной магии. Удастся восстановить не все числа, но часть - удастся. Мне удалось найти точно, в каких магиях нуждаются духи B и F и некоторую инфу про потребности остальных духов.

Это просто игра. Как раскладывание пасьянса.

СЛАУ
11.07.2012, 16:56
Говорят, поэзия - это магия. Если это правда, то можно считать, что магия 1 в задаче выше - это поэзия. Тогда дух E - поэт, пишущий стихи и читающий стихи, много, взахлёб, свои и чужие; дух B - Идеальный Читатель (в данном случае - стихов), как называл это Стивен Кинг; тот, кто хочет читать стихи и совершенно не претендует на наличие поэтического таланта у себя. А духи A и C - поэты, пишущие стихи, но не читающие их; пишущие просто потому, что они из них льются. Рекой.

Добавлено через 46 минут

Так что мотивы описать - задача практически безнадежная.Задача изначально не про реальных людей и их реальные мотивы. Задача про абстрактный мир, про графы. Вот, перевела с форумного языка ("форумчане", "взаимные друзья" и прочее) на сказочный язык (духи, магии и тэ дэ). Получилось как-то не очень жизненно, но зато никого никак и нисколько не задевает. Хотя в новом описании задачи говорила про общающихся и не общающихся духов, по сути у меня духи не общаются, а вроде как... контачат, что ли, взаимодействуют, ведут переговоры (как я уже говорила, о времени и месте поставки той или иной магии), и только. Индивидуалисты они у меня. В целом это просто игра. Как судоку. Разумеется, у меня не было глобальной цели действительно описать и просчитать мотивы людей. Хотя на мысль об этой задаче меня навела да, реальная ситуация. На другом форуме я случайно увидела "в друзьях" у одного определённого человека другого определённого человека, и это меня озадачило. И я - да - попыталась понять, сам этот первый упомянутый человек добавил себе второго или это был ответный шаг, что-то вроде "визита вежливости". Но это как у Ахматовой: "Когда б вы знали, из какого сора растут стихи..." Можно добавить: "и задачи".

Придумался хороший математический оборотец: "А давайте пересчитаем рёбра у этого графа!" :)

СЛАУ
12.07.2012, 09:34
Где-то в романе "Мария Стюарт" есть фраза "только поступки просты, мотивы же их бесконечно сложны".Представилась фраза из уголовного дела: "Его мотивы всегда были сложны, поэтому ни один пианист не брался их исполнять". Ещё представился следователь, невольно встряхивающий головой при каждом прочтении этой фразы. :-)

З. Ы. Хорошая фраза в романе "Мария Стюарт".

ycheff
12.07.2012, 18:55
Представилась фраза из уголовного дела: "Его мотивы всегда были сложны, поэтому ни один пианист не брался их исполнять". Ещё представился следователь, невольно встряхивающий головой при каждом прочтении этой фразы
В одной из "Маленьких трагедий" Пушкина нашего Сергеича есть фраза Лепорелло, обращающегося к Дон Гуану (который заметил узенькую пятку Донны Анны):
- Довольно с Вас, у Вас воображенье в секунду дорисует остальное

СЛАУ
12.07.2012, 20:14
- Довольно с Вас, у Вас воображенье в секунду дорисует остальноеОх, да, это у меня бывает. Я тут сижу и едва удерживаюсь от того, чтобы продолжить рассказывать о духах, придуманных просто для задачки. В моей голове это уже не задачка. Это уже роман. Я, конечно, имею в виду научно-фантастический или фэнтезийный и тэ пэ. Или как минимум повесть. :-)

СЛАУ
15.07.2012, 18:59
Крошечное наблюдение. График функции
y=a0x3+a1x2+a2x+a3, a0 не равно нулю,
то есть полинома третьей степени, всегда симметричен относительно некоторой точки. График полинома второй степени всегда симметричен относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат. График полинома первой степени всегда симметричен относительно некоторой точки. График полинома нулевой степени (то есть функции y=C, где С - константа) всегда симметричен относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат. В общем, при степенях полиномов от 0 до 3 выполняется правило: если степень полинома чётная, то график полинома симметричен относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат; если степень полинома нечётная, то график полинома симметричен относительно некоторой прямой.

Для степеней полинома, больших трёх, это правило уже не выполняется.

Докажем утверждение, сформулированное выше, а именно:
График функции
y=a0x3+a1x2+a2x+a3, a0 не равно нулю, (1)
то есть полинома третьей степени, всегда симметричен относительно некоторой точки.Центром симметрии будет точка S(x0, y0), где
x0=-a1/(3a0),
y0 =2(a1)3/(27(a0)2)-a1a2/(3a0)+a3.
Найдём уравнение графика функции (1) в другой системе координат, в системе координат Stu, имеющей начало координат в точке S и имеющей оси St и Su, параллельные осям Ox и Oy соответственно и сонаправленные с ними. С этой целью сделаем в уравнении (1) замену переменных x=t+x0, y=u+y0. Получим искомое уравнение
u=a0t3+((a1)2/3-2(a1)2/(3a0)+a2)t.
Функция, задаваемая этим уравнением, нечётная, значит, её график симметричен относительно начала координат. Следовательно, график функции (1) тоже симметричен относительно точки, что и требовалось доказать.

СЛАУ
16.07.2012, 19:17
*Продолжая тему предыдущего поста*
Докажем, что для любого чётного n, большего двух, существует такой полином степени n, что его график не симметричен ни относительно одной прямой, параллельной оси Oy. Для этого достаточно рассмотреть функцию
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-(n-3))(x-(n-2))(x-(n-1))(x-(n+1)). (2)
С одной стороны, раскрыв все скобки и приведя подобные, мы получим в правой части уравнения, задающего функцию, полином степени n. С другой стороны, график этой функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами 1, 2, 3, ..., n-3, n-2, n-1, n+1, а это множество точек М на оси абсцисс не симметрично ни относительно одной точки на оси абсцисс. Значит, график этой функции не симметричен ни относительно одной прямой, параллельной оси Оу. Всё.

Докажем, что для любого нечётного m, большего трёх, существует такой полином степени m, что его график не симметричен ни относительно одной точки. Пусть m=2k+1, n=2k. Рассмотрим функцию F(x), являющуюся первообразной функции (2). С одной стороны, функция F(x) - полином степени m. С другой стороны, множество М, определённое выше, является множеством стационарных точек этой функции. Значит, множество стационарных точек функции F(x) не симметрично ни относительно одной точки на оси абсцисс. Следовательно, график этой функции не симметричен ни относительно одной точки. Всё.

СЛАУ
17.07.2012, 13:13
*Продолжая тему предыдущих постов*
При этом очевидно, что никакой полином Pn(x) чётной степени n кроме полинома нулевой степени (константы) не может быть симметричен относительно точки. Ведь при x, стремящемся к плюс бесконечности, Pn(x), n не ноль, стремится либо (первый случай) к плюс бесконечности, либо (второй случай) к минус бесконечности. Если бы имела место симметрия относительно точки, то из этого следовало бы, что при x, стремящемся к минус бесконечности, Pn(x), n не ноль, стремится к минус бесконечности в первом случае и к плюс бесконечности во втором. На самом же деле всё с точностью до наоборот. Если старший член a0xn в многочлене Pn(x), n чётное и не ноль, имеет положительный коэффициент a0, то и при х, стремящемся к плюс бесконечности, и при х, стремящемся к минус бесконечности, Pn(x) стремится к плюс бесконечности. А если старший член a0xn в многочлене Pn(x), n чётное и не ноль, имеет отрицательный коэффициент a0, то и при х, стремящемся к плюс бесконечности, и при х, стремящемся к минус бесконечности, Pn(x) стремится к минус бесконечности.

Аналогично доказывается, что никакой полином Pm(x) нечётной степени m не может быть симметричным относительно прямой, параллельной оси ординат.

Добавлено через 12 минут
Из геометрических соображений, в том числе геометрического смысла производной, ясно, что если некоторая функция имеет график, симметричный относительно прямой, параллельной оси ординат, то её производная имеет график, симметричный относительно точки пересечения этой прямой и оси абсцисс. А если некоторая функция имеет график, симметричный относительно точки, то её производная имеет график, симметричный относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через эту точку.

Добавлено через 10 минут
Чуть сложнее обстоит дело с первообразными. Если функция имеет график, симметричный относительно какой-либо прямой l, то её первообразная имеет график, симметричный относительно какой-либо точки A прямой l (не обязательно лежащей на оси абсцисс).

А если функция имеет график, симметричный относительно какой-либо точки B, то график её первообразной может быть симметричным относительно прямой l, параллельной оси ординат и проходящей через эту точку, а может и не быть. А именно: упомянутая симметрия относительно прямой будет иметь место, если точка В лежит на оси абсцисс, и не будет иметь место, если точка В не лежит на оси абсцисс.

Добавлено через 3 минуты
Это тоже следует из геометрических соображений, в частности, из представления о первообразной как об интеграле с переменным верхним пределом и из представления об определённом интеграле как о площади криволинейной трапеции.

СЛАУ
22.07.2012, 19:52
Картинки на тему судоку:

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/453d1357707281-dvoichnoe-sudoku.jpg?stc=1

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/455d1357707281-cifrovye-narkotiki.jpg?stc=1

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/456d1357707281-sudoku.jpg?stc=1

СЛАУ
27.07.2012, 14:54
Пусть T1, T2, T3,..., Tn - равные друг другу тела с суммарным объёмом V и t1, t2, t3,..., tm - равные друг другу тела с тем же суммарным объёмом V. И пусть тела T1, T2, T3,..., Tn подобны телам t1, t2, t3,..., tm, только крупнее их. Легко доказать, что тогда суммарная площадь поверхности тел t1, t2, t3,..., tm больше суммарной площади поверхности тел T1, T2, T3,..., Tn. Это связано с тем, что площадь поверхности тела растёт с увеличением тела пропорционально квадрату диаметра тела, а объём этого же тела растёт пропорционально кубу диаметра тела. Подобие тел T1, T2, T3,..., Tn и тел t1, t2, t3,..., tm - существенное условие.

То есть, говоря бытовым языком, у килограмма более мелкой картошки больше кожуры, чем у килограмма более крупной картошки. Вот почему я сейчас с тоской думаю о купленной мамой "Ах, такой дешёвой, такой дешёвой" мелкой картошке. Такой, знаете, мельче куриного яйца. Это ж сколько её чистить.

Описанный легкодоказываемый факт легкодоказываем для старшеклассника. Но не для малышонка-младшеклассника. Однако упомянутый малышонок поймёт ситуацию, если ему показать уникуб (см. фото).

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=537&stc=1&d=1357956621

Здесь большой куб (3х3х3) состоит из 27-ми маленьких кубиков (1х1х1). Видно, что площадь поверхности большого куба меньше, чем суммарная площадь поверхности маленьких кубиков. Ведь площадь поверхности большого куба равна сумме площадей видимых граней маленьких кубиков. Имеется в виду - видимых, когда маленькие кубики собраны в один большой куб. А у маленьких кубиков есть ещё много граней невидимых, находящихся внутри большого куба.

Добавлено через 13 минут
Вообще, беря всё более и более мелкие тела t1, t2, t3,..., tm (и, соответственно, всё бОльшие значения m) при неизменном наборе тел T1, T2, T3,..., Tn (и неизменном числе n), можно получать сколь угодно большИе величины суммарных площадей поверхностей этих мелких тел. При уменьшении диаметров тел t1, t2, t3,..., tm в а раз (с увеличением m в а3 раз) суммарная площадь поверхности этих тел увеличится тоже в а раз. Так что если купить картошку примерно в 2 раза мельче (по диаметру), то кожуры у неё будет примерно в 2 раза больше. Поэтому мне радоваться надо. Что всё не так худо, как могло бы быть.

СЛАУ
17.08.2012, 21:17
В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Вместо числа 2 в это утверждение можно подставить 4, 8, 1610, и каждый раз будет получаться справедливое утверждение, то есть

В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 4 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 4.

В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 8 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 8.

В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 1610 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 1610.

Ещё

в шестнадцатиричной системе счисления число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Вместо числа 3 в это утверждение можно подставить 5, 1510, и каждый раз будет получаться справедливое утверждение, то есть:

В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5.

В шестнадцатиричной системе счисления число делится на 1510 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 1510.

Я запостила эту инфу потому, что она забавна. Как забавна неевклидова геометрия для того, кто впервые ознакамливается с ней. Как забавны числа, квадраты которых являются отрицательными числами, для того, кто впервые с ними столкнулся. Особенно прикольно то, что в шестнадцатиричной системе счисления для того, чтобы определить, делится ли число на 5, нужно смотреть не на последнюю цифру числа, а на сумму цифр числа.

Если очень коротко, прямо гиперлаконично, то приведённые выше признаки делимости верны потому, что 16 делится на 2, 4, 8 и 16 и потому, что 16-1=15 делится на 3, 5 и 15.

*Добавлено позднее*

В школе изучаются признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9 в обычной десятичной системе счисления. Вот эти признаки делимости:

Число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 (5, 1010 соответственно).

Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (9 соответственно).

Я в порядке развлечения задалась целью найти систему счисления, в которой ВСЁ НАОБОРОТ. То есть в которой:

Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно).

Число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 1010 соответственно).

Оказалось, таких систем счисления бесконечно много. А именно: "школьные признаки делимости" будут "перевёрнутыми" в описанном выше смысле в любой системе счисления с основанием 90k+81, где k - натуральное число или 0.

СЛАУ
18.08.2012, 06:03
*Продолжение предыдущего поста*
Правда, в этих системах счисления не получается "чистое" наоборот. Там получается ещё и "довесок". Я имею в виду, например, в 81-ричной системе счисления кроме уже указанных признаков делимости будут ещё выполняться признаки делимости

Число делится на 2710 (8110) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2710 (8110 соответственно).

Число делится на 4 (8, 1610, 2010, 4010, 8010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 4 (8, 1610, 2010, 4010, 8010 соответственно).

Но, к сожалению, без довесков никак.

Добавлено через 9 минут
Вообще, я ещё думала о такой системе счисления, в которой школьнику вообще не надо голову ломать, в данном случае смотреть последнюю цифру или сумму цифр. Чтобы подходили оба способа проверки делимости. То есть чтобы было верно утверждение:

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 ИЛИ сумма его цифр делится на 2.

И чтобы аналогичное утверждение было верно ещё и для 5, 1010, 3, 9.

Но это, конечно, уже перебор, такой системы счисления не существует.

Добавлено через 15 минут
А обычные "школьные" признаки делимости справедливы не только в десятичной системе счисления, они справедливы в любой системе счисления с основанием 90i+10, где i - натуральное число или 0. Только в системах счисления с основанием 90i+10, где i - не 0, только натуральное число, опять же появляется "довесок" в виде дополнительных признаков делимости, аналогичных "школьным". Например, в 100-ричной системе счисления появляются дополнительные признаки делимости

Число делится на 4 (2010, 2510, 10010) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 4 (2010, 2510, 10010 соответственно).

Число делится на 1110 (3310, 9910) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 1110 (3310, 9910 соответственно).

СЛАУ
19.08.2012, 09:05
Обоснуем часть заявлений двух предыдущих постов.

У т в е р ж д е н и е 1.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 2, 5, 10 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на m. Если m не делитель числа p, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - произвольный делитель числа p и пусть А=
_____________
anan-1... a2a1a0 - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=anpn+an-1pn-1+...+a2p2+a1p+a0=p(anpn-1+an-1pn-2+...+a2p+a1)+a0. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=а0 (mod m). Значит, А даёт тот же остаток при делении на m, что и а0, откуда и следует то, что число А и его последняя цифра а0 делятся или не делятся на m одновременно, то есть что справедлив признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m - не делитель числа p. Тогда контрпримером, доказывающим, что не всегда число A и его последняя цифра в системе счисления с основанием p делятся или не делятся на m одновременно, будет число А=10p=1*p+0=p, так как 0 делится на m, а p не делится на m. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 2.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p-1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 3, 9 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p-1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на m. Если m не делитель числа p-1, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - делитель числа p-1. Тогда p-1=km, p=km+1. Значит, остаток от деления p на m равен 1. Возводя равенство p=km+1 в степени 2, 3, 4, ... и применяя бином Ньютона, получим, что p в любой из этих степеней равен tm+1, где t - некоторое целое число, для разных степеней разное. Значит, остаток от деления этих степеней p на m равен 1. Пусть А=
_____________
anan-1... a2a1a0 - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=anpn+an-1pn-1+...+a2p2+a1p+a0. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=an+an-1+...+a2+a1+a0 (mod m). Значит, число А даёт при делении на m тот же остаток, что и сумма его цифр. Следовательно, число А и сумма его цифр делятся или не делятся на m одновременно. Значит, для m верен признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m – не делитель числа p-1. На этот случай возьмём в качестве контрпримера число A=10p=1*p+0=p. Сумма цифр этого числа в системе счисления с основанием p равна а=1+0=1. Разность А-а равна p-1 и она по предположенному не делится на m. Значит, это число А и сумма его цифр не могут делиться на m одновременно. Следовательно, признак делимости из условия доказываемого утверждения в данном случае несправедлив. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 3.
Признаки делимости
число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно),
оба одновременно, верны в системах счисления с основаниями 9i, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 1.

У т в е р ж д е н и е 4.
Признаки делимости
число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 1010 соответственно),
все 3 одновременно, верны в системах счисления с основаниями 1010j+1, где j – натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 2.

У т в е р ж д е н и е 5.

"Обратная математика", в которой верны признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 1010 соответственно),

все 5 одновременно, имеет место в системах счисления с основаниями 9010k+8110, где k=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Это следует из утверждений 3 и 4.

СЛАУ
19.08.2012, 12:16
Пойдём дальше в выворачивании математики наизнанку. Мы обсудили все признаки делимости, входящие в обязательную программу, но есть ещё факультативные, в частности, признаки делимости на 4 и на 1110. (Идея рассмотреть и эти признаки делимости не моя, а Инет-знакомого).

У т в е р ж д е н и е 6.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p+1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признаку делимости на 1110 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p+1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на m. Если m не делитель числа p+1, то этот признак делимости несправедлив.

ДОКАЗЫВАЕТСЯ аналогично утверждениям 1 и 2.

У т в е р ж д е н и е 7.
Признак делимости
число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4
верен в системах счисления с основаниями 4i-1, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 6.

У т в е р ж д е н и е 8.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 1010 соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на делится на 4,

все 6 одновременно, имеют место в системах счисления с основаниями 18010j+17110, где j=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Покажем, как мы нашли последнюю формулу.
Любое целое число можно представить в одном из следующих четырёх видов:
4j,
4j+1,
4j+2,
4j+3.
Подставляем по очереди эти выражения в выражение из утверждения 5 вместо k:
90*4j+81=360j+81,
90(4j+1)+81=360j+171,
90(4j+2)+81=360j+261,
90(4j+3)+81=360j+351.
Полученные выражения при делении на 4 дают остатки 1, 3, 1, 3 соответственно. Нас интересуют те выражения, что при делении на 4 дают остаток 3. Значения этих 2-х выражений можно описать одной формулой
180j+171,
которая и значится в утверждении 8.

Дальнейшее решение задачи потребовало бы большого количества вычислений, поэтому я оставлю задачу недопросчитанной. При этом теперь очевидно, что

У т в е р ж д е н и е 9.
Признак делимости
число делится на 1110 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 1110
верен в системах счисления с основаниями 12110k, где k - натуральное число, и только в них.

У т в е р ж д е н и е 10.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 1010) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 1010 соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4;

число делится на 1110 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 1110,

все 7 одновременно, имеют место в системах счисления с такими основаниями k, которые делятся на 12110 и при этом при делении на 18010 дают остаток 17110.

СЛАУ
19.08.2012, 18:09
Как известно, число 0,(9), то-бишь число 0,999... равно единице. Но ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого я узнала только сейчас, в Инете встретила. Вот оно:

х=0,999...
10х=9,999...
10х=9+0,999...
10х=9+х
9х=9
х=1
0,999...=1

СЛАУ
20.08.2012, 01:53
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=566&stc=1&d=1357966283

Добавлено через 12 минут
Кажется, локсодромы, но я не уверена. Красиво...

http://www.10pix.ru/img1/1307/8330722.jpg

Причём тут ведь не просто одни только локсодромы. Тут ведь ещё и их проецирование при помощи центральной проекции (и лучей света) на плоскость (стола).

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=567&stc=1&d=1357966388

Добавлено через 17 минут
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=568&stc=1&d=1357966459

СЛАУ
20.08.2012, 07:40
Я тут подумала: а что, если проецировать что-нибудь откуда-нибудь на что-нибудь не при помощи прямых, а при помощи синусоид? То есть всё так же, как при обычном проецировании, но вместо прямых - синусоиды. Какие эффекты это даст (математический вопрос)? И не будет ли это красиво - эстетический вопрос? (Если проецировать при помощи компа).

СЛАУ
20.08.2012, 15:41
К сожалению, в утверждении 9 в моём пред-пред-пред-предыдущем сообщении ошибка. Поэтому ошибочно и утверждение 10 из того же поста. На самом деле признак делимости
число делится на 1110 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 1110,
верен в системах счисления с основаниями 1110k, где k - натуральное число, и только в них. Но если система счисления имеет основание 1110k, то для определения, делится ли число на 1110, ДОСТАТОЧНО ОДНОЙ ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЫ, необходимость в предпоследней цифре исчезает. И получается, что признаки делимости на 4 и на 1110 совсем красиво и чисто поменять местами нельзя. Итак, до утверждения 9 (исключительно) у меня всё правильно, а утверждения 9, 10 и 10' ошибочны. Ну, остановимся на утверждениях 1-8. Получится неполное, как бы незаконченное выворачивание наизнанку. Этакий парадокс в квадрате. :-)

Есть такой анекдот:
Никогда не говори "Я ошибся". Скажи: "Надо же, как интересно получилось!"

На самом деле я извиняюсь. :-[

СЛАУ
27.08.2012, 13:58
Задачка про лягушечек. (http://children.kulichki.net/vopros/frogs1.htm) (Поменять местами зелёных и коричневых лягушечек, кликая по ним. Лягушка, по которой кликаешь, прыгает, если может. Лягушка может прыгать только вперёд и только на свободную кочку, на соседнюю или через одну, при этом может перепрыгивать через другую лягушку). Правила игры добавила позднее по совету Ычева.

Добавлено через 1 час 35 минут
Японская задача про переправу. (http://igroflot.ru/logic/flash_game_209/)

СЛАУ
02.09.2012, 12:38
Прочитала в Википедии про феномен Уилла Роджерса. Круто. Это кажущийся парадокс, связанный со средними арифметическими двух численных множеств. Он сказывается, например, в том, что в некоторых случаях можно перевести ученика из одного класса в другой так, что УВЕЛИЧАТСЯ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕГО РОСТА УЧЕНИКОВ В ОБОИХ КЛАССАХ, и в том, из которого перевели ученика, и в том, в который перевели ученика. Скажем, до перевода ученика средний рост учеников в шестом "А" был aн, а средний рост учеников в шестом "Б" был bн. А после перевода одного ученика из шестого "А" в шестой "Б" средний рост учеников в шестом "А" стал равняться ак, а средний рост учеников в шестом "Б" стал равняться bк. И при этом и ак>ан, и bк>bн.

Спрячу под теги совсем уже конкретный пример в числах, показывающий, как так может быть.

Пример очень простой и наглядный. Пусть в одном ("первом") классе учится 20 учеников с ростом 140 см, а в другом ("втором") классе учатся 20 учеников с ростом 160 см и один ученик с ростом 150 см. Если из второго класса в первый перевести ученика с ростом 150 см, то мы и получим упомянутый эффект. Ведь очевидно, что до перевода ученика из класса в класс средний рост учеников в первом классе был 140 см, а средний рост учеников во втором классе был несколько меньше 160 см. А ПОСЛЕ перевода ученика из класса в класс средний рост учеников в первом классе стал несколько большим 140 см (а значит, вырос), а средний рост учеников во втором классе стал равным 160 см (а значит, тоже вырос).

Пример, как я уже сказала, очень простой и наглядный, а вот если брать величины роста более разнообразными, то можно сделать ситуацию запутанной и тем самым совершенно загадочной, подобной фокусу.

Этот парадокс, мне кажется, хорош для карьерного мошенства. :-) Стал начальником, перевёл из одного цеха в другой одного рабочего - и получил выросшую среднюю производительность рабочих в обоих цехах. Для красивой отчётности.

СЛАУ
04.09.2012, 14:30
Идея с кулона, сделанного Фрамбуа:

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/475d1356398419-8430699.jpg

Идея с нового линолеума у нас на кухне:

http://www.razgovorium.ru/attachments/razdel35/476d1356398447-8430706.jpg

Легко понять, как сделать аналогичное переплетение на основе любого правильного n-угольника. Эти переплетения можно использовать в школьных задачках по планиметрии.

СЛАУ
04.09.2012, 19:35
Задачка про лягушечек.

Добавлено через 1 час 35 минут
Японская задача про переправу.В изначальном посте ссылка "Задачка про лягушек" вела на хорошую игру-головоломку с ПЛОХОЙ формулировкой задачи. С формулировкой задачи "Попробуйте поменять всех лягушек местами". На самом деле задача состоит не в этом. Задача состоит в том, чтобы ПОМЕНЯТЬ ЗЕЛЁНЫХ И КОРИЧНЕВЫХ ЛЯГУШЕК МЕСТАМИ. В тот же день я отредактировала пост. Я заменила ссылку на ведущую на ту же самую игру-головоломку, но - с нормальной формулировкой задачи.

ycheff
04.09.2012, 20:19
с ПЛОХОЙ формулировкой задачи
Надо бы и правила игры как-то определить. Могут ли лягушки прыгать назад, прыгать одновременно и т.п.

СЛАУ
06.09.2012, 08:42
http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=551&stc=1&d=1357958340

(на всякий случай ссылка на ту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/4273/8441221.jpg ).

Узнала новый для себя вид головоломок (а может, и уже знала его когда-то, да забыла). Пример - на рисунке. Задача в том, чтобы повернуть каждый из кругов на какой-либо угол, кратный 90о, так, чтобы во всех точках касания кругов друг с другом "встречались"/"соединялись" отрезки одинакового цвета. Допускается некоторые круги не поворачивать, это считается за поворот на 0о. Поворачивать круги, вообще говоря, не все на один угол, а одни на один угол, другие на другой, третьи на третий, четвёртые на четвёртый.

ОТВЕТ: таблично показано, на какие углы против часовой стрелки нужно повернуть круги:

90о, 0о, 180о;
0о, 270о, 180о;
270о, 180о, 90о.

СЛАУ
06.09.2012, 16:31
Составила задачу на эту тему.

ЗАДАЧА. Имеются 24 круга и 1 маленький квадрат внутри большого квадрата (см. рис.). В каждом круге и в маленьком квадрате по 2 стрелки. Каждая стрелка смотрит или на 3, или на 6, или на 9, или на 12 часов. Поворачивая круги (но не маленький квадрат!) на углы, кратные 90о, добиться того, чтобы стрелки образовывали границы стран на карте. То есть чтобы в точках касания кругов друг с другом и в точках касания кругов с маленьким квадратом ломаные, образованные стрелками, не обрывались, а обрывались только в точках касания кругов с границей большого квадрата. Допускается некоторые круги не поворачивать, это считается за поворот на 0о.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=552&stc=1&d=1357958458

(на всякий случай ссылка на эту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/813743/8443207.jpg ).

ОТВЕТ.

http://www.razgovorium.ru/members/50-albums23-picture183.jpg

(на всякий случай ссылка на эту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/2245/8443263.jpg ).

СЛАУ
20.09.2012, 13:15
Спирали, симметрия...

http://www.10pix.ru/img1/1247/8531040.jpg

По-моему, эти спирали - тени локсодром с картинки с предыдущей страницы.

http://www.razgovorium.ru/attachment.php?attachmentid=565&stc=1&d=1357966062