СЛАУ

Итак, тема "Математические и физические записки на манжетах".
Полное описание темы, если бы позволяло число свободных знаков, было бы таким: "Ма-а-аленькие физ-мат мысли, для каждой из которых неразумно создание целой отдельной темы; в том числе тематический юмор".

Первая маленькая мысль. Начну с цитат:

Я решила на всякий случай ответить на этот пост, вдруг кто-нибудь действительно не знает ответа на заданный вопрос про количество мужей и жён.

Понятно, что если у каждого мужа по 4 жены, а у каждой жены по 4 мужа, то мужей и жён в семье минимум 8. Для того, чтобы решить задачу про максимум, нужно построить граф. Суть в том, что мы предполагаем, что две женщины, имеющие общего мужа, не обязаны быть замужем только за одними и теми же мужчинами, а могут иметь, кроме общего, ещё и разных мужей. И наоборот: двое мужчин, имеющих общую жену, не обязаны иметь только общих жён, а могут иметь и разных жён. Тогда семья может иметь следующий состав. Начнём с какого-нибудь конкретного мужчины М11 (см. рис. 1), у него может быть 4 жены: Ж21, Ж22, Ж23, Ж24. У жены Ж21, кроме мужа М11, может быть ещё три мужа: М311, М312 и М313; у жены Ж22 тоже может быть ещё 3 мужа, причём не из списка уже названных мужчин; у жены Ж23 тоже может быть ещё 3 мужа, и тэ дэ.



Рисунок 1.

У каждого мужчины, в номере которого первая цифра 3, что означает "3-й уровень", тоже может быть ещё по три жены. Кстати, здесь в обозначении каждого мужа и каждой жены первая цифра означает номер уровня. Получаем дерево (граф такой), в котором число уровней может быть сколь угодно большим, а число вершин в первом уровне 1, во втором уровне 4, а в каждом уровне начиная с третьего в 3 раза больше, чем число вершин в предыдущем уровне. То есть семья по численности может состоять хоть из всех мусульман и мусульманок мира. Ур-р-ра! Мусульмане всех стран, объединяйтесь... в одну семью. Мои родители, кстати, временами заявляют, что я - мусульманка (либо обязана ею быть), так как я по крови татарка и всякое такое.

Вторая мысль, "прикольная", отражена в следующей картинке:




_http://kotomatrix.ru/

ДОПОЛНЕНИЕ, написанное примерно 2 года спустя:
В этой теме рассматриваются разные вопросы и задачки. В частности:

1. В постах за 02.01.2010, 08.01.2010, 13.01.2010, 15.01.2010, 22.01.2010 и - с большим перерывом - 29.01.2012 рассматривается шутливая ситуация с "новой мусульманской семьёй".

2. В посте за 10.04.2010 я разбиралась с задачкой Сметанина об осмосе и вечном двигателе.

3. В постах за 12.05.2010, 13.05.2010, 14.05.2010 и 15.05.2010 обсуждается интересная поверхность. Я бы назвала эту поверхность Поверхностью-в-Бутылке, потому что её модель можно сделать (и я делала) при помощи ниток в бутылке из-под фанты. Я рассказала об этой поверхности, а Сметанин придумал красивые и забавные описания этой поверхности. Из-за его описаний эту поверхность можно ещё назвать Поверхностью Карусели или Поверхностью Штангиста.

4. В постах за 13.06.2010 и 15.06.2010 речь ещё об одной занятной поверхности в этом же роде.

5. В постах за 09.07.2012, 10.07.2012, 11.07.2012 рассматривается логическая игра "Духи и магии", в которую играют при помощи графов.

6. В постах за 17.08.2012, 18.08.2012, 19.08.2012, 20.08.2012 рассматривается "вывернутая наизнанку математика" - система счисления, в которой для определения, делится ли число на 2, 5, 10, смотрят на сумму цифр, а для определения, делится ли число на 3, 9, смотрят на последнюю цифру. О_о

7. В постах за 20.08.2012, 20.09.2012, 07.11.2012, 08.11.2012 речь о локсодромах.

8. ...

(Список будет пополняться).

Миниатюры

   

__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.

Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.

а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

СЛАУ

Недавний мой реальный разговор с мамой:

Я: Есть предположение, что трансцендентное число е является нормальным.
М а м а (опешив). Е - это ведь не число!
Я. А что?
М а м а. Буква!

))))) Вот хорошо это или плохо - когда у тебя с родственниками ничего общего? В основном плохо, мешает родству душ и поговорить не о чем. А с другой стороны, иногда даёт возможность посмеяться). Мне это напомнило кое-что из Задорнова. Пересказываю приблизительно по памяти:

На почте старика учат, как заполнять бланк: "Дедушка, "пять тысяч" надо прописью написать!" - "Это как?" - "Это буквами!" - "Да вы что, с ума сошли? Как же я это число буду буквами писать??!!")))

__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.

Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.

а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

metelev_sv

В смысле просто иррациональным? Расскажи пожалуйста, интересно

СЛАУ

Нет, не просто иррациональным. Насколько мне известно, трансцендентность числа е доказана давно и бесповоротно:
(Википедия).
А вот что говорит та же Вики про нормальные числа:
Так что вопрос о нормальности-ненормальности (и даже об абсолютной нормальности) ставится не только по отношению к людям, но и по отношению к числам).

__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.

Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.

а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

СЛАУ

В продолжение первой маленькой мысли первого поста темы. Назовём новой мусульманской семьёй, или НМ-семьёй, семью, примерно описанную там, т. е. множество мужчин и женщин С, в котором не менее 2-х человек, в которое вместе с каждым мужчиной входят все его жёны (женщины, которых может быть до 4-х человек), а вместе с каждой женщиной входят все её мужья (мужчины, которых может быть до 4-х человек), а любые два человека А и B этого множества либо являются мужем и женой, либо связаны между собой через нескольких человек, то есть существуют люди А₂, А₃, А₄,…, А_n-1 этого множества, такие, что А_i и А_i+1 – супруги для любого i от 1 до n-1, считая А₁=A, А_n=B. Как видите, говоря о НМ-семье, я имею в виду только супружество, дети-родители-бабки-деды-внуки-тёти-дяди не рассматриваются, эти родственные отношения вне задачи. В первом посте темы, рассуждая о количестве людей в НМ-семье, я сказала примерно, что это количество может быть любым, вообще говоря, от двух («неполные» мусульманские семьи – «муж и жена» - тоже будем считать частными случаями НМ-семей) до бесконечности. Но я не рассмотрела важный вопрос: при каком отношении числа женщин к числу мужчин в множестве людей всех людей этого множества точно можно объединить в одну НМ-семью. Ведь, например, группу из двух мужчин и восьми женщин невозможно объединить в одну НМ-семью, а только в две, а двух мужчин и девять женщин невозможно объединить ни в одну НМ-семью, ни в несколько таковых, а группу из двух мужчин и семи женщин можно объединить в одну НМ-семью.
Введём обозначения. Пусть Ч – множество нескольких человек (мужчин и женщин); М – множество мужчин множества Ч; Ж – множество женщин множества Ч; N(Ч), N(М) и N(Ж) – число элементов в множествах Ч, М и Ж соответственно. Назовём дисбалансом множества Ч между количеством мужчин и количеством женщин, или просто дисбалансом множества Ч, наибольшее из отношений N(Ж)/N(М) и N(М)/N(Ж). Зададимся вопросом: при каком дисбалансе множества Ч из всех людей этого множества можно составить НМ-семью.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как можно составить НМ-семью из k человек с самым большим дисбалансом. Рассматривать это будем при помощи графов. Для определённости будем стараться составить из k человек семью с наибольшим отношением N(Ж)/N(М).
Очевидно, что для k=2 дисбаланс может быть только 1, для k=3 дисбаланс может быть только 2, для k=4 максимальный дисбаланс равен 3. Дальше графы будем строить так… Вершины, обозначающие мужчин, будем называть м-вершинами и изображать синими квадратами (смотрите рисунок 2), а вершины, обозначающие женщин, будем называть ж-вершинами и изображать красными кружками. Сначала отмечаем одну м-вершину и проводим четыре ребра к четырём ж-вершинам. Поскольку своего рода «валентность» первой м-вершины заполнена полностью, далее из какой-нибудь ж-вершины проводим ребро и его второй конец сделаем новой м-вершиной. Затем, как и в дальнейшем каждый раз как только из какой-нибудь ж-вершины проведено ребро с отмеченной новой м-вершиной на другом его конце, начинаем из этой м-вершины проводить рёбра и их другие концы отмечать как новые ж-вершины, и только после того, как проведём из этой м-вершины три новых ребра к трём новым ж-вершинам, т. е. только тогда, когда полностью заполним «валентность» м-вершины, из одной из ж-вершин проводим ребро, второй конец которого сделаем новой м-вершиной. Иллюстрацией этого построения графа является рисунок 2.



Рисунок 2.

1-й случай.
Из приведённого объяснения построения графа и рисунка ясно, что если все «валентности» всех м-вершин заполнены полностью, то
N(М)=1+д, (1)
N(Ж)=4+3д, (2)
где д=0, 1, 2, 3, …, - число мужчин, добавляемых к семье «один муж и его 4 жены»; добавление каждого из мужчин приносит в семью добавление ещё трёх женщин.
Отсюда
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+5. (3)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+4)/(д+1)=3+1/(д+1). (4)
Выразим дисбаланс непосредственно через число людей N(Ч), а не через какую-то промежуточную величину д. С этой целью из (3) выразим д через N(Ч), подставим полученное выражение в (4) и упростим. Получим
N(Ж)/N(М)=3+8/(2N(Ч)-1). (5)

2-й случай.
Если число людей в множестве Ч на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+4, (6)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф из предыдущего графа. Удалить одну вершину графа, не потеряв другие вершины, можно только удалив какую-нибудь из висячих ж-вершин (а они есть, в количестве как минимум 3). В результате у одной из м-вершин в новом графе «валентности» будут заполнены не полностью,
N(М)=д+1, (7)
N(Ж)=3д+3. (8)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+3)/(д+1)=3. (9)

3-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+3, (10)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (11)
N(Ж)=3д+2. (12)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+2)/(д+1)=3-1/(д+1), (13)
Или
N(Ж)/N(М)=3-4/(N(Ч)+1). (14)

4-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+2, (15)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (16)
N(Ж)=3д+1. (17)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+1)/(д+1)=3-2/(д+1), (18)
N(Ж)/N(М)=3-8/(N(Ч)+2). (19)

ТЕОРЕМА
1. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+5 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3+8/(2N(Ч)-1).
2. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+4 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает 3.
3. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+3 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-4/(N(Ч)+1).
4. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+2 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем пункт 1. Зафиксируем д=0, 1, 2, 3, … и, тем самым, число человек в множестве Ч k=4д+5. То, что требуется доказать, равносильно тому, что для каждой из пар чисел
(д+1; 3д+4); (д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); …; (3д+4; д+1) (20)
можно построить НМ-семью из k=4д+5 человек, число мужчин N(М) в которой равно первому числу пары, а число женщин N(Ж) равно второму числу пары.
То, что в НМ-семье из k=4д+5 человек (д=0, 1, 2, 3, …) может быть д+1 мужчин и 3д+4 женщин, доказано выше. Теперь докажем, что в НМ-семье число мужчин и число женщин могут образовывать пары
(д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); (д+4; 3д+1); … (2д+2; 2д+3). (21)
Составим д+1 м-вершин и 3д+4 ж-вершин в новый граф, изображающий НМ-семью, такой, как показано на рисунке 3.



Рисунок 3.

Легко посчитать, что количество висячих ж-вершин в этом графе
в=3+2(д-1)+3=2д+4.
Каждую пару висячих ж-вершин можно использовать для того, чтобы в графе одновременно сделать на одну ж-вершину меньше и на одну м-вершину больше, например, так, как показано на рисунке 4.



Рисунок 4.

Назовём эту операцию (одним) шагом. Рассматриваемый граф позволяет сделать
в/2=д+2
шагов. А для того, чтобы получить пары чисел (21) из первоначальной пары чисел (д+1; 3д+4), многократно «перебрасывая» единицу из второй компоненты пары в первую компоненту, достаточно
(2д+2)-(д+1)=д+1
шагов, значит, доказываемое верно. Далее, задача симметрична относительно мужчин и женщин, значит, просто переобозначая в графах, изображающих НМ-семьи с парами чисел мужчин и женщин (д+1; 3д+4) и (21), м-вершины в ж-вершины и наоборот, мы получим графы, изображающие НМ-семьи с остальными парами чисел мужчин и женщин из (20). Пункт 1 доказан полностью.
Пункты 2-4 доказываются совершенно аналогично.

СЛЕДСТВИЕ.
Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч) человек, где k=2, 3, 4, 5, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно.

Применяя это следствие к практике, можно сказать, что, если оценивать общее количество мусульман и мусульманок в мире скромным числом 1 млрд., то всех их можно объединить в одну семью при условии, что дисбаланс между количеством мужчин и количеством женщин не будет превышать 3-8*10^-9 (если число мусульман и мусульманок в мире больше, а считается, что это так и есть, то допустимый дисбаланс ещё выше). Я полагаю, что реальный дисбаланс заведомо много, много меньше. Так что лозунг «Мусульмане всех стран, объединяйтесь… в одну семью!» в силе: объединение возможно, и даже не потребует смены пола ни от одного приверженца и ни от одной приверженки ислама!

Миниатюры

     

__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.

Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.

а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

metelev_sv

Вчера ходил на семинар. Речь шла о поляризующих (теперь уже супер-поляризующих :-) ) Нейтронных суперзеркалах.

Нейтроны с веществом взаимодействуют мало, поэтому отражаются плохо. Самый большой угол полного отражения при прочих равных у никеля. А задача уводить нейтроны в сторону актуальна. Например, чтобы поставить несколько установок на один пучок (выход из реактора). Добиваются больших углов отражения с помощью суперзеркал.

Идея проще всего объяснить, начав с монохроматора.

Сначала короткое предисловие. Во всех случаях речь идёт о стеклянной пластине, на которую напыляются слои металлических сплавов двух типов. Характеризуют такую структуру как правило функцией распределения потенциала в направлении перпендикулярно поверхности, вдоль поверхности она однородна. Потенциал характеризуется взаимодействием нейтрона с ядрами сплава, в подробности можно не лезть, для данного сплава это просто число. Аналог---потенциальная энергия шарика, катящегося по поверхности, а "распределение потенциала" это просто геометрия поверхности.

Ну вот, назад к монохроматору. Если напылением создать искусственную периодическую структуру, то брегговское отражение может быть более интенсивным, чем отражение от поверхности никеля. А суперзеркало это грубо говоря несколько монохроматоров, так что вместо они перекрывают большой диапазон длин волн и как бы продляют область полного отражения (увеличивают угол "полного отражения", эту характеристику принято называть m) в 2, 2.5 раза, до 5 сейчас делают, только надо понимать, что это не настоящее полное отражение и если m=2, то на "срезе" (в точке где заканчивается "полное отражение") коэффициэнт отражения составляет 0.8, при большем m ещё меньше.

Дальнейшее развитие этой идеи состоит в том, что если сделать структуру разной для нейтронов разной поляризации, то можно поляризовать нейтроны. Достигается это применением магнитных материалов. Они подбираются так, что с учётом намагниченности для нейтронов одной поляризации искусственная структура выглядит как "заборчик" а для нейтронов другой поляризации она выглядит (должна выглядеть) как чистое пространство. И после всей этой сверхструктуры идёт поглощающий подслой, который поглощает "неправильные" нейтроны.

Это всё конца 70-х годов и 80-х годов достижения, насколько я понимаю.

Семинар был о том, как улучшить поляризующую эффективность. Дело в том, что поляризующие зеркала отражают до 1% нейтронов "чужой" поляризации. Было выяснено, что происходит это из-за того, что на границах слоёв обнаруживается немагнитный слой, который для нейтронов "чужой" поляризации выглядит как паразитный "заборчик". Устранить его нельзя, но можно к каждому пику потенциала напылять слой материала с другой полярностью потенциала и эти два пика (один вверх, другой вниз) эффективно дают отсутствие пика, делают паразитный пик потенциала "прозрачным".

Ну вот, идея была экспериментально проверена, всё работает, поляризующая эффективность действительно сильно растёт, так что уже и измерить её сложно (слишком маленькая интенсивность "чужой" поляризации). Работа была опубликована, уже в 2010 году в Nuclear Instruments and Methods, автор Плешанов Николай.

Smetanin

то есть всего несколько человек?

А другой крайний случай - какой будет максимальный дисбаланс при общем количестве людей 1 млрд. человек. Пусть соотношение мужчин/женщин может быть произвольным.

__________________

Smetanin

А где используются поляризованные пучки нейтронов? Интересно

__________________

metelev_sv

Для исследования всяких магнитных свойств образца. Магнитной структуры например, которая может отличаться от решёточной. Исследования доменов. Исследования динамики решётки с магнитной точки зрения.

СЛАУ

Сметанин, чесслово я не поняла твоего комментария и твоего вопроса. Как ты это дисбаланс меряешь человеками, когда это безразмерная величина? Как видно из определения в моём посте, дисбаланс в группе людей равен отношению числа мужчин к числу женщин, если мужчин больше, и равен отношению числа женщин к числу мужчин, если женщин больше или если мужчин и женщин поровну. Таким образом, дисбаланс - это число, принадлежащее полуинтервалу от 1 (включительно) до плюс бесконечности. Ну, чтобы не было деления на ноль, будем рассматривать только группы людей, в которых есть хотя бы один мужчина и есть хотя бы одна женщина. Очень огрубляя результаты моих рассуждений, можно сказать, что при большом количестве людей из них всех можно составить одну НМ-семью, если на одного мужчину приходится 3 женщины (плюс-минус мизер, зависящий от числа людей в группе) или на одну женщину приходится 3 мужчины (плюс-минус мизер, зависящий от числа людей в группе), а также при промежуточных соотношениях между этими двумя крайностями. В смысле при N(М)/N(Ж) от 1/3 (плюс-минус мизер) до 3 (плюс-минус мизер). Или, ещё иначе говоря, при дисбалансе от 1 (включительно) до 3 (плюс-минус мизер). Если же нас совершенно не интересуют НМ-семьи, а интересует просто максимальный дисбаланс в группе из миллиарда людей, то он, разумеется, равен 999 999 999:1=999 999 999. Он достигается, когда из миллиарда человек один человек - мужчина, а все остальные - женщины, или когда, наоборот, один человек - женщина, а все остальные - мужчины. Но мусульманскому миру, кажется, не грозит такой дисбаланс.

__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.

Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.

а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow