Форум Разговориум  

Вернуться   Форум Разговориум > Наука и жизнь > Физика и Математика

Ответ
 
LinkBack Опции темы Опции просмотра
Старый 09.07.2012, 06:52   #1 (permalink)
Супер-модератор

Регистрация: 20.12.2009
Адрес: уютное маленькое гнёздышко с книгами, бумагами, компьютером и интернетом.
Сообщений: 5,130
Сказал(а) спасибо: 8,801
Поблагодарили 3,752 раз(а) в 2,703 сообщениях

По умолчанию Раскрашивая мир в яркие цвета

Захотелось рассказать о нескольких своих наблюдениях, связанных с раскрасками. Какое-то время думала, что это слишком неподъёмный труд для меня, "маленькой", потом решила писать маленькими постами, понемногу. Итак, это первый пост серии постов (я так предполагаю и надеюсь).
Есть одна красивая задача. Называется проблема четырёх красок. Вот статья о ней в Википедии:
Проблема четырёх красок — Википедия
Одна из формулировок этой задачи:
Цитата:
Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.
Я подумала, что понятия, используемые в этой формулировке проблемы четырёх красок, можно перенести с плоскости/поверхности в пространство. Как призывал Шарыгин, выйти в пространство.
Берём обыкновенное трёхмерное евклидово пространство и декартову систему координат в нём. Рассматриваем плоскости x=i, y=j, z=k, где i, j k пробегают всё множество целых чисел. Эти плоскости делят пространство на кубы с ребром 1. Такую пространственную карту (назовём её простейшей кубической картой) можно правильно раскрасить двумя цветами. Это такая... пространственно-шахматная раскраска. Представление о ней даёт уникуб Никитиных:



Теперь пронумеруем слои кубов, то есть слой кубов, заключённый между плоскостями z=i-1 и z=i, где i - целое число, будем называть i-м. Сдвинем все кубы, находящиеся в чётных слоях, то есть в слоях с чётными номерами, параллельно оси Ох на 0,5 (или на а, где а - любое нецелое действительное число, это не имеет значения). Мы получим новую пространственную карту. Для её правильной раскраски двух цветов недостаточно, а трёх достаточно (убедитесь сами, это забавно). Теперь все кубы, стоящие в чётных слоях, уже сдвинутые параллельно оси Ох, дополнительно сдвинем ещё параллельно оси Оу, на 0,5 (или на b, где b - любое действительное нецелое число, это не имеет значения). Мы получим ещё одну пространственную карту. Для её правильной раскраски трёх цветов недостаточно, а четырёх достаточно (тоже убедитесь сами). Пока всё.
Миниатюры
foto-1.jpg  
__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.


Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.


а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

Последний раз редактировалось СЛАУ; 12.01.2013 в 07:10.
СЛАУ вне форума   Ответить с цитированием
Старый 09.07.2012, 12:17   #2 (permalink)
Супер-модератор

Регистрация: 20.12.2009
Адрес: уютное маленькое гнёздышко с книгами, бумагами, компьютером и интернетом.
Сообщений: 5,130
Сказал(а) спасибо: 8,801
Поблагодарили 3,752 раз(а) в 2,703 сообщениях

По умолчанию

На всякий случай: мои предыдущие рассуждения не являются попытками решить аналог проблемы четырёх красок в пространстве. Этот аналог может быть таким:

Какого минимального количества цветов достаточно для правильной раскраски любой пространственной карты, если под правильной раскраской понимается такая раскраска, при которой любые 2 области, имеющие общий двумерный участок границы, раскрашены в разные цвета.

Ответ на такую задачу: минимума нет. Какое бы большое натуральное число n мы ни взяли, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо как минимум n цветов. Более того, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо бесконечное число цветов. Я могу это доказать и может быть сделаю позже, но это довольно просто (только нужно много букАФФ) и это не самое интересное.

Хотя пространственный аналог проблемы четырёх красок - не проблема, а так, пустячок, это не значит, что перенесение понятия "правильная раскраска" с плоскости/поверхности в пространство не даёт ничего интересного. Я думаю, оно даёт кучу интересных задач. Оно даёт задачи вида "Определите, какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски такой-то конкретной пространственной карты". Оно даёт и другие задачи, например, задачу "Какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски пространственной карты, если эта карта - всё обычное трёхмерное евклидово пространство, разделённое на равные друг другу кубы (назовём её равнокубической картой)?" Заметим, что равнокубическая карта - это не то же самое, что простейшая кубическая карта, кубы в ней могут располагаться относительно друг друга и более сложно, чем в простейшей кубической карте. Только не должно быть зазоров между кубами и не должно быть взаимного проникновения кубов друг в друга.

Добавлено через 1 час 51 минуту
Рассмотрим опять простейшую кубическую карту. Мы уже пронумеровали её слои. Теперь пронумеруем ряды в этих слоях. В любом i-м слое назовём j-м рядом ряд кубиков, заключённый между плоскостями х=j-1 и y=j (j - любое целое число).
Опять сдвинем все чётные слои кубиков вдоль оси Ох на 0,5. Потом во всех слоях сдвинем чётные ряды кубиков вдоль оси Оу на 0,5. Мы получим новую пространственную карту. Для её раскраски достаточно шести цветов и не достаточно пяти. Думаю, для раскраски любой равнокубической карты достаточно шести цветов.

Я уже привела примеры равнокубических карт, для правильной раскраски которых необходимы и достаточны:
- два цвета,
- три цвета,
- четыре цвета,
- шесть цветов.
Легко построить и равнокубическую карту, для раскрашивания которой необходимы и достаточны пять цветов.

Добавлено через 1 час 8 минут
Дальше...
Есть такой многогранник - звёздчатый ромбододекаэдр. Существует головоломка, имеющая вид звёздчатого ромбододекаэдра. Несколько месяцев назад в продаже появился ластик, сделанный в форме этой головоломки. Вот его фото:



Как видите, он состоит из шести деталек разного цвета, вот они:



При этом известно, что звёздчатыми ромбододекаэдрами можно заполнить всё пространство без зазоров. Это было искушение. Я накупила много этих ластиков, разобрала их и собрала из деталек одноцветные звёздчатые ромбододекаэдры. Вот например голубенький:



...

Добавлено через 20 минут
С этими звёздчатыми ромбододекаэдрами я стала делать начальные этапы заполнения пространства, но так, чтобы получилась правильная раскраска пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры. Оказалось, что для правильной раскраски такой пространственной карты не достаточно трёх цветов и достаточно четырёх. Располагала я ластики так. Сначала первый уровень - ластики белого и голубого цветов, 9 штук, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Второй уровень - ластики розового и зелёного цвета, 4 штуки, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Они ставятся на 9 ластиков первого уровня. Третий уровень заполненного звёздчатыми ромбододекаэдрами пространства повторяет первый, но я выкладывала ластики сужающейся кверху пирамидой, поэтому на третий уровень поставила только один ластик, голубой (см. фото:



).
Миниатюры
foto-2.jpg   foto-3.jpg   foto-4.jpg   foto-5.jpg   foto-6.jpg  

foto-7.jpg  
__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.


Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.


а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

Последний раз редактировалось СЛАУ; 12.01.2013 в 07:17.
СЛАУ вне форума   Ответить с цитированием
Старый 30.12.2012, 14:55   #3 (permalink)
Супер-модератор

Регистрация: 20.12.2009
Адрес: уютное маленькое гнёздышко с книгами, бумагами, компьютером и интернетом.
Сообщений: 5,130
Сказал(а) спасибо: 8,801
Поблагодарили 3,752 раз(а) в 2,703 сообщениях

По умолчанию

Вопрос о раскраске пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры, решён. Рассмотрим другой вопрос. Головоломка звёздчатый ромбододекаэдр состоит из шести одинаковых деталек (третье фото этой темы). Будем для удобства здесь называть эти детальки корабликами (некоторое сходство есть). Раз пространство можно замостить звёздчатыми ромбододекаэдрами, а звёздчатые ромбододекаэдры состоят из корабликов, значит, пространство можно замостить корабликами. Интересно рассмотреть пространственную карту, в которой странами являются кораблики – скольки разных цветов необходимо и достаточно для правильной раскраски такой карты. Ответ: трёх. Какой должна быть эта раскраска, ясно из следующих двух фото:



Миниатюры
foto-8.jpg   foto-9.jpg  
__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.


Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.


а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

Последний раз редактировалось СЛАУ; 12.01.2013 в 07:23.
СЛАУ вне форума   Ответить с цитированием
Ответ

Метки
выход в пространство, проблема четырёх красок


Здесь присутствуют: 1 (пользователей: 0 , гостей: 1)
 
Опции темы
Опции просмотра

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.
Trackbacks are Вкл.
Pingbacks are Вкл.
Refbacks are Вкл.



Текущее время: 14:17. Часовой пояс GMT +4.

Powered by vBulletin® Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimization by vBSEO 3.3.1 Перевод: zCarot
Стиль: vBStyle.ru