Показать сообщение отдельно
Старый 08.01.2010, 18:47   #5 (permalink)
Супер-модератор

Регистрация: 20.12.2009
Адрес: уютное маленькое гнёздышко с книгами, бумагами, компьютером и интернетом.
Сообщений: 5,130
Сказал(а) спасибо: 8,801
Поблагодарили 3,752 раз(а) в 2,703 сообщениях

По умолчанию Продолжение первой маленькой мысли первого поста темы

В продолжение первой маленькой мысли первого поста темы. Назовём новой мусульманской семьёй, или НМ-семьёй, семью, примерно описанную там, т. е. множество мужчин и женщин С, в котором не менее 2-х человек, в которое вместе с каждым мужчиной входят все его жёны (женщины, которых может быть до 4-х человек), а вместе с каждой женщиной входят все её мужья (мужчины, которых может быть до 4-х человек), а любые два человека А и B этого множества либо являются мужем и женой, либо связаны между собой через нескольких человек, то есть существуют люди А2, А3, А4,…, Аn-1 этого множества, такие, что Аi и Аi+1 – супруги для любого i от 1 до n-1, считая А1=A, Аn=B. Как видите, говоря о НМ-семье, я имею в виду только супружество, дети-родители-бабки-деды-внуки-тёти-дяди не рассматриваются, эти родственные отношения вне задачи. В первом посте темы, рассуждая о количестве людей в НМ-семье, я сказала примерно, что это количество может быть любым, вообще говоря, от двух («неполные» мусульманские семьи – «муж и жена» - тоже будем считать частными случаями НМ-семей) до бесконечности. Но я не рассмотрела важный вопрос: при каком отношении числа женщин к числу мужчин в множестве людей всех людей этого множества точно можно объединить в одну НМ-семью. Ведь, например, группу из двух мужчин и восьми женщин невозможно объединить в одну НМ-семью, а только в две, а двух мужчин и девять женщин невозможно объединить ни в одну НМ-семью, ни в несколько таковых, а группу из двух мужчин и семи женщин можно объединить в одну НМ-семью.
Введём обозначения. Пусть Ч – множество нескольких человек (мужчин и женщин); М – множество мужчин множества Ч; Ж – множество женщин множества Ч; N(Ч), N(М) и N(Ж) – число элементов в множествах Ч, М и Ж соответственно. Назовём дисбалансом множества Ч между количеством мужчин и количеством женщин, или просто дисбалансом множества Ч, наибольшее из отношений N(Ж)/N(М) и N(М)/N(Ж). Зададимся вопросом: при каком дисбалансе множества Ч из всех людей этого множества можно составить НМ-семью.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как можно составить НМ-семью из k человек с самым большим дисбалансом. Рассматривать это будем при помощи графов. Для определённости будем стараться составить из k человек семью с наибольшим отношением N(Ж)/N(М).
Очевидно, что для k=2 дисбаланс может быть только 1, для k=3 дисбаланс может быть только 2, для k=4 максимальный дисбаланс равен 3. Дальше графы будем строить так… Вершины, обозначающие мужчин, будем называть м-вершинами и изображать синими квадратами (смотрите рисунок 2), а вершины, обозначающие женщин, будем называть ж-вершинами и изображать красными кружками. Сначала отмечаем одну м-вершину и проводим четыре ребра к четырём ж-вершинам. Поскольку своего рода «валентность» первой м-вершины заполнена полностью, далее из какой-нибудь ж-вершины проводим ребро и его второй конец сделаем новой м-вершиной. Затем, как и в дальнейшем каждый раз как только из какой-нибудь ж-вершины проведено ребро с отмеченной новой м-вершиной на другом его конце, начинаем из этой м-вершины проводить рёбра и их другие концы отмечать как новые ж-вершины, и только после того, как проведём из этой м-вершины три новых ребра к трём новым ж-вершинам, т. е. только тогда, когда полностью заполним «валентность» м-вершины, из одной из ж-вершин проводим ребро, второй конец которого сделаем новой м-вершиной. Иллюстрацией этого построения графа является рисунок 2.



Рисунок 2.

1-й случай.
Из приведённого объяснения построения графа и рисунка ясно, что если все «валентности» всех м-вершин заполнены полностью, то
N(М)=1+д, (1)
N(Ж)=4+3д, (2)
где д=0, 1, 2, 3, …, - число мужчин, добавляемых к семье «один муж и его 4 жены»; добавление каждого из мужчин приносит в семью добавление ещё трёх женщин.
Отсюда
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+5. (3)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+4)/(д+1)=3+1/(д+1). (4)
Выразим дисбаланс непосредственно через число людей N(Ч), а не через какую-то промежуточную величину д. С этой целью из (3) выразим д через N(Ч), подставим полученное выражение в (4) и упростим. Получим
N(Ж)/N(М)=3+8/(2N(Ч)-1). (5)

2-й случай.
Если число людей в множестве Ч на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+4, (6)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф из предыдущего графа. Удалить одну вершину графа, не потеряв другие вершины, можно только удалив какую-нибудь из висячих ж-вершин (а они есть, в количестве как минимум 3). В результате у одной из м-вершин в новом графе «валентности» будут заполнены не полностью,
N(М)=д+1, (7)
N(Ж)=3д+3. (8)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+3)/(д+1)=3. (9)

3-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+3, (10)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (11)
N(Ж)=3д+2. (12)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+2)/(д+1)=3-1/(д+1), (13)
Или
N(Ж)/N(М)=3-4/(N(Ч)+1). (14)

4-й случай.
Если число людей в множестве Ч ещё на единицу меньше:
k=N(Ч)=N(М)+N(Ж)=4д+2, (15)
то сделаем новый, соответствующий этому числу людей, граф опять из предыдущего графа, опять удалив одну висячую ж-вершину. Получим
N(М)=д+1, (16)
N(Ж)=3д+1. (17)
Тогда дисбаланс равен
N(Ж)/N(М)=(3д+1)/(д+1)=3-2/(д+1), (18)
N(Ж)/N(М)=3-8/(N(Ч)+2). (19)

ТЕОРЕМА
1. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+5 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3+8/(2N(Ч)-1).
2. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+4 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает 3.
3. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+3 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-4/(N(Ч)+1).
4. Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч)= 4д+2 человек, где д=0, 1, 2, 3, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем пункт 1. Зафиксируем д=0, 1, 2, 3, … и, тем самым, число человек в множестве Ч k=4д+5. То, что требуется доказать, равносильно тому, что для каждой из пар чисел
(д+1; 3д+4); (д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); …; (3д+4; д+1) (20)
можно построить НМ-семью из k=4д+5 человек, число мужчин N(М) в которой равно первому числу пары, а число женщин N(Ж) равно второму числу пары.
То, что в НМ-семье из k=4д+5 человек (д=0, 1, 2, 3, …) может быть д+1 мужчин и 3д+4 женщин, доказано выше. Теперь докажем, что в НМ-семье число мужчин и число женщин могут образовывать пары
(д+2; 3д+3); (д+3; 3д+2); (д+4; 3д+1); … (2д+2; 2д+3). (21)
Составим д+1 м-вершин и 3д+4 ж-вершин в новый граф, изображающий НМ-семью, такой, как показано на рисунке 3.



Рисунок 3.

Легко посчитать, что количество висячих ж-вершин в этом графе
в=3+2(д-1)+3=2д+4.
Каждую пару висячих ж-вершин можно использовать для того, чтобы в графе одновременно сделать на одну ж-вершину меньше и на одну м-вершину больше, например, так, как показано на рисунке 4.



Рисунок 4.

Назовём эту операцию (одним) шагом. Рассматриваемый граф позволяет сделать
в/2=д+2
шагов. А для того, чтобы получить пары чисел (21) из первоначальной пары чисел (д+1; 3д+4), многократно «перебрасывая» единицу из второй компоненты пары в первую компоненту, достаточно
(2д+2)-(д+1)=д+1
шагов, значит, доказываемое верно. Далее, задача симметрична относительно мужчин и женщин, значит, просто переобозначая в графах, изображающих НМ-семьи с парами чисел мужчин и женщин (д+1; 3д+4) и (21), м-вершины в ж-вершины и наоборот, мы получим графы, изображающие НМ-семьи с остальными парами чисел мужчин и женщин из (20). Пункт 1 доказан полностью.
Пункты 2-4 доказываются совершенно аналогично.

СЛЕДСТВИЕ.
Пусть в множестве Ч всего k=N(Ч) человек, где k=2, 3, 4, 5, … Тогда из всех людей этого множества можно составить одну НМ-семью, если дисбаланс множества Ч не превышает
3-8/(N(Ч)+2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно.

Применяя это следствие к практике, можно сказать, что, если оценивать общее количество мусульман и мусульманок в мире скромным числом 1 млрд., то всех их можно объединить в одну семью при условии, что дисбаланс между количеством мужчин и количеством женщин не будет превышать 3-8*10-9 (если число мусульман и мусульманок в мире больше, а считается, что это так и есть, то допустимый дисбаланс ещё выше). Я полагаю, что реальный дисбаланс заведомо много, много меньше. Так что лозунг «Мусульмане всех стран, объединяйтесь… в одну семью!» в силе: объединение возможно, и даже не потребует смены пола ни от одного приверженца и ни от одной приверженки ислама!
Миниатюры
ris-2-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg   ris-3-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg   ris-4-dlya-musul-manskoj-sem-i.jpg  
__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.


Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.


а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

Последний раз редактировалось СЛАУ; 12.01.2013 в 11:44.
СЛАУ вне форума   Ответить с цитированием
Эти 2 пользователя(ей) сказали спасибо автору за это сообщение:
Smetanin (13.01.2010), Vicont (11.01.2010)