Показать сообщение отдельно
Старый 09.07.2012, 12:17   #2 (permalink)
Супер-модератор

Регистрация: 20.12.2009
Адрес: уютное маленькое гнёздышко с книгами, бумагами, компьютером и интернетом.
Сообщений: 5,130
Сказал(а) спасибо: 8,801
Поблагодарили 3,752 раз(а) в 2,703 сообщениях

По умолчанию

На всякий случай: мои предыдущие рассуждения не являются попытками решить аналог проблемы четырёх красок в пространстве. Этот аналог может быть таким:

Какого минимального количества цветов достаточно для правильной раскраски любой пространственной карты, если под правильной раскраской понимается такая раскраска, при которой любые 2 области, имеющие общий двумерный участок границы, раскрашены в разные цвета.

Ответ на такую задачу: минимума нет. Какое бы большое натуральное число n мы ни взяли, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо как минимум n цветов. Более того, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо бесконечное число цветов. Я могу это доказать и может быть сделаю позже, но это довольно просто (только нужно много букАФФ) и это не самое интересное.

Хотя пространственный аналог проблемы четырёх красок - не проблема, а так, пустячок, это не значит, что перенесение понятия "правильная раскраска" с плоскости/поверхности в пространство не даёт ничего интересного. Я думаю, оно даёт кучу интересных задач. Оно даёт задачи вида "Определите, какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски такой-то конкретной пространственной карты". Оно даёт и другие задачи, например, задачу "Какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски пространственной карты, если эта карта - всё обычное трёхмерное евклидово пространство, разделённое на равные друг другу кубы (назовём её равнокубической картой)?" Заметим, что равнокубическая карта - это не то же самое, что простейшая кубическая карта, кубы в ней могут располагаться относительно друг друга и более сложно, чем в простейшей кубической карте. Только не должно быть зазоров между кубами и не должно быть взаимного проникновения кубов друг в друга.

Добавлено через 1 час 51 минуту
Рассмотрим опять простейшую кубическую карту. Мы уже пронумеровали её слои. Теперь пронумеруем ряды в этих слоях. В любом i-м слое назовём j-м рядом ряд кубиков, заключённый между плоскостями х=j-1 и y=j (j - любое целое число).
Опять сдвинем все чётные слои кубиков вдоль оси Ох на 0,5. Потом во всех слоях сдвинем чётные ряды кубиков вдоль оси Оу на 0,5. Мы получим новую пространственную карту. Для её раскраски достаточно шести цветов и не достаточно пяти. Думаю, для раскраски любой равнокубической карты достаточно шести цветов.

Я уже привела примеры равнокубических карт, для правильной раскраски которых необходимы и достаточны:
- два цвета,
- три цвета,
- четыре цвета,
- шесть цветов.
Легко построить и равнокубическую карту, для раскрашивания которой необходимы и достаточны пять цветов.

Добавлено через 1 час 8 минут
Дальше...
Есть такой многогранник - звёздчатый ромбододекаэдр. Существует головоломка, имеющая вид звёздчатого ромбододекаэдра. Несколько месяцев назад в продаже появился ластик, сделанный в форме этой головоломки. Вот его фото:



Как видите, он состоит из шести деталек разного цвета, вот они:



При этом известно, что звёздчатыми ромбододекаэдрами можно заполнить всё пространство без зазоров. Это было искушение. Я накупила много этих ластиков, разобрала их и собрала из деталек одноцветные звёздчатые ромбододекаэдры. Вот например голубенький:



...

Добавлено через 20 минут
С этими звёздчатыми ромбододекаэдрами я стала делать начальные этапы заполнения пространства, но так, чтобы получилась правильная раскраска пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры. Оказалось, что для правильной раскраски такой пространственной карты не достаточно трёх цветов и достаточно четырёх. Располагала я ластики так. Сначала первый уровень - ластики белого и голубого цветов, 9 штук, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Второй уровень - ластики розового и зелёного цвета, 4 штуки, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Они ставятся на 9 ластиков первого уровня. Третий уровень заполненного звёздчатыми ромбододекаэдрами пространства повторяет первый, но я выкладывала ластики сужающейся кверху пирамидой, поэтому на третий уровень поставила только один ластик, голубой (см. фото:



).
Миниатюры
foto-2.jpg   foto-3.jpg   foto-4.jpg   foto-5.jpg   foto-6.jpg  

foto-7.jpg  
__________________
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

О, проживёшь, не опечалишься,
А мне и вовсе ничего.


Мы забыли, бранясь и пируя, для чего мы на Землю попали...

...чтобы он излагался ясно, как дважды два...

А ты сердце моё
Не разбивай на куски.
А ты люби меня,
А не люби мне мозги.


а между тем любое чувство всегда по модулю любовь © korobkow

Последний раз редактировалось СЛАУ; 12.01.2013 в 07:17.
СЛАУ вне форума   Ответить с цитированием